Usando diferenciales en física [duplicado]

es una abreviatura de

Esto fue demasiado largo para insertarlo en un comentario, así que lo escribo como respuesta aquí.

Aquí hay una respuesta que escribí en MSE ¿ Cómo funciona la idea de un diferencial dx si los derivados no son fracciones? . Allí explico la idea de interpretarlos como formas 1 (esto es solo un vocabulario elegante para una idea simple).

Además, si desea ver cómo se utilizan algunas de estas ideas geométricas diferenciales básicas en física, le recomiendo que lea A Course of Mathematics for Students of Physics de Bamberg y Sternberg., que es un texto muy legible. Echa un vistazo a los volúmenes 1 y 2 (hay cosas sobre electrostática, magnetostática, óptica, ecuaciones de Maxwell). La termodinámica se cubre específicamente en el Capítulo 22 (el último capítulo del Volumen 2), y siguen el enfoque geométrico de Caratheodory. Para entender esto, no necesita leer cada capítulo de antemano; solo necesita leer el capítulo 5 (cálculo diferencial básico en varias variables) y ocasionalmente necesitará el material del capítulo 15 (sobre derivadas exteriores y formas cerradas y exactas). En este lenguaje la primera ley dice que si tomamos el trabajo 1-forma$\omega$y el "calor"$1$-forma$\alpha$, entonces su suma$\alpha+\omega$está cerrado (es decir$d(\alpha+\omega)=0$) y por lo tanto se puede escribir localmente como$dU=\alpha+\omega$para alguna función suave$U$.

Entonces, no es$\omega$ni$\alpha$solo que es cerrado, sino más bien sus sumas. Típicamente, para reflejar esta afirmación, la notación clásica lo escribe como$\delta Q$o$\delta W$, o incluso$dQ, dW$con una pequeña línea cruzada sobre el$d$(no estoy muy seguro de cómo escribir esto en mathjax). Otro libro (más avanzado) que desarrolla el cálculo exterior y muestra sus aplicaciones a la física es Applied Exterior Calculus, de Dominic GB Edelen .

La termodinámica se ocupa de diferenciales matemáticos reales para las funciones de estado termodinámicas . Las funciones de estado son funciones reales de varias variables, y diferentes funciones de estado se relacionan mediante la transformación de Legendre ( ver para su aplicación en Termodinámica ).

Como ejemplo, la energía interna se puede escribir como

Sin embargo, el último término de la ecuación anterior ya muestra que los físicos tienden a tomarse libertades con la notación matemática, como$N_i$en el último término está el número de partículas, es decir, una variable discreta. Del mismo modo, a menudo se subraya que$dQ$y$dW$no son diferenciales reales, ya que dependen del camino que se elija entre los dos puntos, y solo su suma no es ambigua, tal como ocurre en matemáticas. Sin embargo, como ha señalado @JG, la ruta suele estar implícita y$Q,W$pueden pensarse como funciones de un parámetro a lo largo de este camino. Algunos libros utilizan específicamente en este caso símbolos con cruces.$d:$ đQ, đW.

Podría estar equivocado, pero el primer comienzo de la termodinámica en el caso general no se expresa en diferenciales completos. Como se señaló correctamente anteriormente (@Roger Vadim), incluso muchos autores introducen específicamente otras designaciones para estos valores. Ambas expresiones (y$dU$y$\delta Q$) son incrementos físicamente infinitesimales, pero este último no es un diferencial. Si recuerdas la fórmula de Newton-Leibniz

En este sentido, la respuesta a su pregunta debería sonar aproximadamente como sigue. Algunas funciones físicas son diferenciales totales en el sentido de cantidades físicamente infinitesimales. "Físicamente" en este caso implica que la magnitud incremental en sí misma es mucho más pequeña que alguna dimensión de referencia, como el tamaño de un sistema o un posible cuanto de medición de algún instrumento. Solo cuando se hacen las suposiciones básicas se pueden usar las propiedades correspondientes, y luego siempre debe estar atento al significado de este o aquel valor, como el mismo trabajo elemental:$\delta W = \int\limits_{a}^{b}{\left( \vec{F} \cdot d\vec{r} \right)}$.

Se puede pensar en una derivada como una relación entre diferenciales. Por ejemplo,$\frac {dy}{dx}=2$se puede interpretar como diciendo$dy =2dx$. La ecuacion$dU=dQ+dW$es solo una versión de tal ecuación con tres términos. Si lo desea, puede dividir ambos lados por$dU$Llegar$1 = \frac{dQ}{dU}+\frac{dW}{dU}$. Y según la regla de la cadena, puedes dividir por cualquier diferencial; como dijo JG, es equivalente a$\frac{dU}{dp}=\frac{dQ}{dp}+\frac{dW}{dp}$para cualquier parámetro$p$.

Decir que dos expresiones de infinitesimales son iguales puede considerarse como una afirmación de que son iguales "en el límite". Dicho rigurosamente, podemos decir$\Delta U = \Delta Q+\Delta W+\epsilon$dónde$\lim_{\Delta U \rightarrow 0}\frac {\Delta \epsilon}{\Delta U}=0$(por supuesto, dado que la relación entre los términos es constante, resulta que$\epsilon$es idénticamente cero).

Estrictamente hablando, probablemente sea incorrecto escribir la ecuación anterior como lo ha hecho, ya que un diferencial en una variable debe estar referenciado a otra variable independiente.

Pero la mayoría de la gente sabe lo que significa, es decir, la ecuación correspondiente escrita en incrementos:

ΔU = ΔQ + ΔW

Escrito así, podemos manipular la ecuación con otras variables y convertirla a forma diferencial dividiendo por otro incremento y aplicando un límite de 'tendencia a cero'.