¿Los índices se elevan convencionalmente dentro o fuera de las derivadas parciales en relatividad general?

La mayoría de las dudas en tus preguntas se pueden resolver si evitas llamar a un vector (oa una forma) sus coordenadas .

$A_{\mu}$no es de una sola forma:$A = A_{\mu}dx^{\mu}$es.

$g^{\mu\nu}$no es un tensor:$g= g^{\mu\nu}e_{\mu}\otimes e_{\nu}$es.

Como tal, una cosa es simplemente tomar derivadas parciales de algunas funciones con respecto a sus variables, a saber

No hay ninguno, porque las derivadas parciales no tienen sentido en GR.

Las derivadas parciales pueden aparecer en dos lugares:

• Derivados exteriores
• Derivados de mentira.

Obviamente, también pueden aparecer si expandes una derivada covariante, pero realmente no deberías aumentar o disminuir los incidentes individuales en ese momento.

Para derivadas covariantes, no importa, porque$\nabla g=0$, para que puedas moverte libremente$g$dentro o fuera de la derivada y entonces tenemos$\nabla_\mu A^\mu=\nabla^\mu A_\mu$.

Para las derivadas de Lie, puede expresarlas con derivadas covariantes. Sin embargo, sí importa, porque los derivados de Lie no conmutan con$g$, a menos que su campo vectorial sea un Killing-field, entonces tenemos$\mathcal L_X A^\mu\neq(\mathcal L_X A_\nu)g^{\mu\nu}$, en este caso, debe especificar si sube/baja antes o después de la derivada de Lie. Sin embargo, debo decir que la notación de índice encaja muy mal con la notación derivada de Lie de todos modos.

Para las derivadas exteriores, puede expresar eso con derivadas covariantes, y también, la derivada exterior es significativa si y solo si, la calcula en una forma diferencial, que, por definición, tiene un índice más bajo.

Como dijo AccidentialFourierTransform en los comentarios, el problema es más interesante si tiene múltiples conexiones y/o múltiples métricas y/o una conexión no compatible. Cada vez que he visto tales situaciones en la literatura de física, los aumentos/disminuciones se escribieron explícitamente, o se declaró una convención de antemano , pero debido a que estas ocurrencias son bastante específicas, realmente no se puede hacer una convención definitiva en general .

Comentarios a la publicación (v4):

1. Si$A^{\mu}$se supone que es (componentes de) un campo vectorial, es decir, un campo tensorial contravariante (1,0), entonces la expresión (1) no es una divergencia. Una divergencia de un campo vectorial en una variedad pseudo-riemanniana es un campo escalar, es decir, un campo tensorial (0,0), y tiene la forma local

   $${\rm div} A~=~ \frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_{\mu} (\sqrt{|g|} A^{\mu}) \tag{A}$$

2. Del mismo modo, si$A_{\nu}$se supone que es (componentes de) un campo co-vectorial, es decir, un campo tensor covariante (0,1), entonces la expresión (3) no es un campo tensor (0,0).

3. Además de la importante objeción de no trabajar con cantidades no covariantes, si OP simplemente pregunta sobre las convenciones para una abreviatura notacional para trabajar con una derivada parcial

   $$\partial^{\mu}\tag{B}$$ con índice elevado, digamos, en un contexto relativista general, parece más conveniente dejar la métrica fuera , es decir $$\partial^{\mu}~:=~g^{\mu\nu}\partial_{\nu}.\tag{C}$$ Por ejemplo, el operador de Laplace-Beltrami se convertiría en $$\Delta~=~\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_{\mu}\sqrt{|g|}\partial^{\mu}.\tag{D}$$ Pero realmente no podemos recomendar la notación (B) fuera de un contexto relativista especial para no crear una confusión innecesaria.