Problemas para comprender definiciones con cantidades infinitesimales

Si estás interesado en un poco más de rigor matemático:

Tienes toda la razón,$\rho(x)$, matemáticamente hablando, es la derivada. no es nada pero$m^{'}(x)$. Si la gente hace trucos como multiplicar por$\mathrm{d}x$o algo similar, es solo un truco de notación (aunque funciona cada (?) vez para funciones de "buen comportamiento").

El diferencial total$\mathrm{d}U = \mathrm{d}q + \mathrm{d}w$es otra bestia, por así decirlo, se llama " one-form " y -matemáticamente hablando- debe entenderse en términos de integración, tal que:

$\int \mathrm{d}U = \int \mathrm{d}q + \int \mathrm{d}w$

La charla sobre "cantidades infinitesimales" es un buen modelo de pensamiento y se usa a menudo para cálculos prácticos, pero en última instancia, debe mirar las definiciones matemáticas para "saber qué objetos son realmente".

Espero que esto ayude.

Podrías pensar en las funciones$m(x)$o$W(t)$como funciones que representan algún tipo de acumulación. Por ejemplo, con poder, podrías definir$W(t)$como el trabajo realizado desde hace algún tiempo$t=t_0$. Entonces la potencia instantánea es solo$P=\text dW/\text dt$. Para la densidad lineal se podría pensar en$m(x)$como la masa que ha "contado" comenzando en el borde del cuerpo. Entonces la densidad lineal es simplemente$\rho=\text dm/\text dx$.

En cualquier caso, solemos expresar estas ecuaciones un poco diferente

Esto también se refleja en la primera ley de la termodinámica.$\text dU=\text dq+\text dw$. El cambio infinitesimal en la energía interna.$\text dU$del sistema se explica por la cantidad infinitesimal de energía que entra/sale debido al calor$\text dq$y la cantidad infinitesimal de energía que entra/sale debido al trabajo$\text dw$. Tenga en cuenta que a veces puede ver en su lugar$\delta q$y$\delta w$para denotar una dependencia de ruta. Sí, la suma de dos valores infinitesimales también es infinitesimal en general.

No tiene por qué ser el caso en general que$\text df=f(x+\text dx)-f(x)$, esto se debe a que en general$f$no necesita ser continuo. Yo pensaría en ese caso entonces$\text df$no estaría definido ya que el límite$f(x+\text dx$como$\text dx\to 0$no se definiría, pero no soy matemático, así que podría estar fuera de aquí. En cualquier caso, solemos trabajar con funciones continuas con derivadas continuas, por lo que esto no suele ser un problema.

La densidad de masa$\rho(x)$, y poder$P(t)$se definen como derivados. Esto es análogo a la velocidad (unidimensional),$v = dx/dt$. A simple vista no tiene sentido definir la velocidad como una derivada, pero parece más intuitivo definirla como la razón de diferencias finitas,$\Delta x/\Delta t$. Sin embargo, si pensamos en cada cantidad como una función , la definición de la derivada se vuelve más clara.

Así que consideremos un caso particular.$x(t) = t^2$y pregunte: "¿Cuál es la velocidad en el tiempo$t_1=2s$?" Tomando el concepto de diferencia finita, podríamos, por ejemplo, tomar la posición a veces$t_0=1.5s$y$t_2=2.5s$y calcular$v(t_1) \approx \frac{x(t_2)-x(t_0)}{t_2 - t_1}$. Sin embargo, graficando la posición en función del tiempo en azul y la velocidad calculada en rojo, vemos que el resultado no es perfecto,

Por lo tanto, parece natural reducir la diferencia horaria$\Delta t = t_2 - t_1$. Al hacerlo, observaremos que la línea roja se acerca cada vez más a "la forma local" de la línea azul. en el limite$\Delta t \to 0$, que es simplemente la derivada, obtenemos la coincidencia más cercana.

El mismo argumento es cierto para sus ejemplos. Por ejemplo, en el caso de la densidad de masa, debemos pensar en términos de funciones. Por lo tanto, la masa$m(x)$es una función, y por lo tanto la densidad de masa$\rho(x)$se convierte en una función.

No tratamos con cantidades infinitesimales en el análisis estándar. Incluso en un análisis no estándar en el que se permiten cantidades infinitesimales, no podemos construir matemáticamente una sola instancia de una cantidad infinitesimal.

La derivada no es una razón de cantidades infinitesimales, es el límite de la razón de cantidades pequeñas

donde el límite significa que para cualquier$\epsilon >0$hay un$\delta >0$tal que si$0 < \delta x < \delta$entonces

A los efectos de la física, no estamos interesados ​​en los resultados numéricos exactos, sino en los resultados de la precisión de la medición. En la práctica, solo necesitamos que el resultado medido esté dentro de$\epsilon$del valor nocional, donde$\epsilon$se refiere a la precisión de la medición.

Por lo tanto, es común tratar cantidades muy pequeñas$\delta x$como si fueran cantidades infinitesimales$dx$y también para usar la notación$dx$y se refieren a una cantidad infinitesimal cuando estrictamente estamos hablando de cantidades lo suficientemente pequeñas como para que cualquier error sea menor que la precisión de medición requerida.