¿Cómo es el gradiente la tasa máxima de cambio de una función?

Considere un$n$-espacio dimensional (dos dimensiones en la imagen), y sea$f(\vec x)$Sea una función escalar no constante, como una distribución de temperatura en su caso. Dejar$\vec y(t)$Sea cualquier curva en el espacio tal que la función$f(\vec y(t))=c$es constante a lo largo de esa trayectoria (las líneas de colores).

Ahora calcula el producto escalar$\left\langle ., .\right\rangle$del vector gradiente$\vec \nabla f$(las flechas rojas) evaluadas en el punto$\vec y(t)$, con el vector tangente$\vec Y(t):=\frac{\text{d}\vec y(t)}{\text{d}t}$por esa misma curva

$$\left\langle \vec Y(t), \left(\vec\nabla f\right)_{\vec y(t)}\right\rangle :=\sum_{i=1}^n\ Y^{\ i}(t)\left(\nabla_i f\right)_{\vec y(t)}=$$ $$=\sum_{i=1}^n \frac{\text{d}y^i(t)}{\text{d}t}\left(\frac{\partial f}{\partial y^i}\right)_{\vec y(t)} =\frac{\text{d}f(\vec y(t))}{\text{d}t} =\frac{\text{d}c}{\text{d}t} =0.$$

El resultado de que el producto escalar de estos dos vectores es cero significa que el gradiente$\vec \nabla f$siempre es ortogonal a la dirección en la que la función no cambia, es decir$\vec Y(t)$. Por lo tanto, apunta en la dirección del cambio máximo. Puedes ver claramente la ortogonalidad en la imagen.

Y si la función cambia rápidamente con respecto a las coordenadas espaciales, entonces los componentes del gradiente$\nabla_i f\equiv\frac{\partial f}{\partial y^i}$y por lo tanto todo el vector gradiente será grande.

Observe también cómo la dimensión$n$no se usó de ninguna manera esencial para derivar la declaración.

La ecuacion

${\rm d}T~=~ \nabla T \cdot {\rm d}{\bf r}$,

dice que el cambio en T, a saber${\rm d}T$, es el producto escalar de 2 vectores,$\nabla T$y${\rm d}{\bf r}$, que también se puede escribir como la magnitud del primer vector por la magnitud del segundo vector por el coseno del ángulo entre ellos.

${\rm d}T~=~ |\nabla T| |{\rm d}{\bf r}|\cos\theta$.

Ahora suponga que estamos fijando la longitud del vector de desplazamiento infinitesimal, pero podemos moverlo cambiando su dirección y, por lo tanto, cambiando$\theta$. te das cuenta de que$dT$es máximo si$\theta$es$0$.

$\theta=0$significa que ambos vectores tienen la misma dirección, y dado que$d{\bf r}$es el vector de desplazamiento, entonces en este caso te mueves a lo largo de la misma dirección de$\nabla T$lo que hace$dT$máximo.

Por lo tanto, puede interpretar$\nabla T$como el vector cuya dirección es la dirección a lo largo de la cual el cambio de la función$T$es máximo.

Echa un vistazo a http://en.wikipedia.org/wiki/Del .

Supr, o$\nabla$, es una generalización del gradiente a más de una dimensión. en una dimensión$\nabla$es lo mismo que el gradiente.

Del cálculo elemental, el diferencial total de una función$f(x_1, x_2,...x_n)$es dado por

$$\begin{align*}df &= \frac {\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac {\partial f} {\partial x_2} dx_2~...+\frac{\partial f} {\partial x_n} dx_n\\&=\nabla f\cdot\vec {dx} \end{align*}$$

Para$df = 0$,$\nabla f$y el diferencial correspondiente$\vec {dx}_{min}~~$son por lo tanto ortogonales entre sí ya que su producto escalar es cero. el diferencial$\vec{dx}_{max}$ortogonal a$\vec {dx}_{min}$maximiza$df$, lo que significa$\vec{dx}_{max}$es paralelo a$\nabla f$. Entonces podemos escribir

$$\begin{align*}df_{max} &= \nabla f\cdot\vec {dx}_{max}\\ &= |\nabla f||\vec {dx}_{max}|\\ |\nabla f| &= \frac {df_{max}} {|dx_{max}|}\end{align*}$$

Por lo tanto$\nabla f$es un vector con una magnitud igual al cambio máximo en$df$bien$|dx|$, y una dirección a lo largo$\vec {dx}_{max}$

Formalmente, tenemos la ecuación simbólica

$$\nabla T\cdot\mathrm d\mathbf r = \begin{pmatrix} \frac{\partial T}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial T}{\partial x^n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm dx^1 \\ \vdots \\ \mathrm dx^n \end{pmatrix} = \sum_i \frac{\partial T}{\partial x^i}\mathrm dx^i = \mathrm dT$$ Sin embargo, eso realmente no nos ayuda con nuestra intuición.

Para una definición más precisa e intuitiva, necesitamos evaluar diferencial y gradiente y (usando la regla de la cadena para la segunda igualdad) llegar a

$$\begin{align*} \mathrm dT_{\mathbf r}(\mathbf v) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big|_{t=0} T(\mathbf r + t\mathbf v) = \nabla T(\mathbf r)\cdot\mathbf v && \forall\mathbf r,\mathbf v\in\mathbb R^n \end{align*}$$ Como vemos aquí, el diferencial (o equivalentemente el producto escalar con el gradiente) produce el (infinitesimal) cambio de $T$mientras nos movemos a lo largo de la curva $t\mapsto \mathbf r + t\mathbf v$.

Ahora, podemos preguntarnos en qué dirección$\mathbf v$,$||\mathbf v||=1$hace$T$cambiar más? La respuesta obviamente está en la dirección del gradiente, ya que el producto escalar es máximo si$\measuredangle(\mathbf v,\nabla T)=0$. El largo de$\nabla T$por supuesto, también es relevante: mide la fuerza (o la velocidad) de este cambio.

gradiente como$\nabla T$se refiere a la derivada vectorial de funciones de más de una variable. Físicamente, explica la tasa de cambio de la función bajo la operación de Gradiente.

$\nabla T$es un vector que apunta en la dirección del mayor aumento de la función. La dirección es cero en el mínimo local y el máximo local.

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Significado físico de la ecuación${\rm d}T~=~ \nabla T \cdot {\rm d}{\bf r}$:
${\rm d}T$es la proyección de$\nabla T$en la dirección de${\rm d}{\bf r}$.