¿Cómo inferir qué significan integrales y derivadas y cuándo tomarlas? [cerrado]

Entonces, tengo muy poca experiencia en física ya que soy estudiante de ciencias matemáticas, pero al estar expuesto a algo de física, tuve algunas dificultades para comprender cómo inferir las derivadas y las integrales (y específicamente, por qué se usan y cuándo) , porque supongo que en física se eligen ocasionalmente debido a algunos cambios en unidades o cantidades. Por ejemplo, que la primera derivada del desplazamiento es la velocidad.

Como ejemplo, dibujo una ecuación que encontré de una respuesta a una de nuestras tareas,

∂ ∂ t ∫ Ω mi T ( r , t ) d r = ∫ Ω [ mi C ( r , t ) + Φ ( r , t ) ] d r

dónde mi C ( r , t ) denota la producción de energía térmica en un proceso de compostaje en función de la unidad de medida Jordan y la unidad de tiempo y Φ ( r , t ) es una cantidad negativa que describe la fuga de energía térmica al medio ambiente. mi T ( r , t ) es la energía térmica total en el sistema.

Ahora, ¿por qué LHS tiene una derivada en el tiempo de una integral sobre algún conjunto? Ω ? ¿O por qué el RHS tiene que estar integrado sobre Ω ?

Tengo dificultades para "visualizar" estas ecuaciones o saber cómo hacer las conversiones de unidades correctas (usando derivadas/integrales), porque para mí mi C ( r , t ) es suficiente para dar valores de función dependientes del lugar/coordenada, pero ¿por qué uno quiere integrarlo para obtener algún tipo de área? ¿Es la intuición acerca de sumar todos esos individuos mi C ( r , t ) s sobre todo r ∈ Ω ?

¿Existen buenos recursos para estudiar física o leer sobre algunas conocidas "heurísticas de derivadas e integrales de física" desde el punto de vista de las matemáticas o cree que las intuiciones en matemáticas funcionan razonablemente bien en física y simplemente no tengo experiencia en lectura y formando ecuaciones físicas?

Respuestas (2)

Todas las "integrales y derivadas" de la física surgen de leyes físicas que se expresan como ecuaciones diferenciales. Por ejemplo F = metro a , ley de Newton, es una ecuación diferencial

F = metro d 2 X d t 2 .
Si tienes una fuerza constante como la gravedad (en la superficie de la tierra) obtienes las relaciones familiares como X = tu t + 1 / 2 a t 2 de integrar esto dos veces con respecto al tiempo.

Entonces, ¿está sugiriendo que para aprender cómo se usan las integrales y las derivadas en física, siempre se debe considerar el dominio de aplicación y las teorías físicas específicas y su formulación?
Muchas leyes físicas se parecen entre sí por razones de simetría, por ejemplo, la ley del inverso del cuadrado es la misma para la electrostática y la gravedad.

En general, las derivadas y las integrales se usan en física para calcular la tasa de cambio de una cantidad con respecto a otra cantidad; un buen ejemplo de esto es la velocidad, que es la tasa de cambio de la posición de un objeto a lo largo del tiempo.

v = ( d X / d t )
En lo que respecta a la integración, considere este ejemplo: la ley de electricidad de Gauss establece que el flujo eléctrico que sale de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada por esa superficie dividida por la permitividad del espacio libre:
∬ S mi → ⋅ d S → = q / ϵ
Entonces, la superficie sobre la que debe integrarse es la superficie a través de la cual fluyen las líneas de campo, y tanto el campo eléctrico como el vector normal a la superficie varían. Sin duda, está familiarizado con el concepto de flujo a través de una superficie desde hace mucho tiempo en el cálculo multivariable. En lo que respecta a su ejemplo específico, el lado izquierdo representa la tasa de cambio de la energía térmica total y el lado derecho es la integral de dos tasas de cambio. Básicamente, hay una derivada en el lado izquierdo y no en el derecho porque ambas cantidades dentro del integrando ya están relacionadas con el cambio por naturaleza, al menos si entiendo la expresión correctamente.

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