Bases rigurosas de los infinitesimales en la física

Cuando le pregunté a mi profesor universitario de mecánica analítica "¿qué significa que una rotación sea infinitesimal?" después de presentar este tema a mano en clase, respondió "significa que es muy pequeño". En ese momento, simplemente me alejé. Más tarde ese día le envié un correo electrónico a mi TA, quien me aclaró al indicarme un libro sobre la teoría de la Mentira.

Afortunadamente, no tengo la intención de escribir una respuesta como la de mi profesor.

En general, cada vez que vea el término "EN BLANCO infinitesimal" en física, puede estar relativamente seguro de que se trata simplemente de un marcador de posición para "aproximación de primer orden (también conocida como lineal) a EN BLANCO".

Veamos uno de los ejemplos más importantes.

Transformaciones infinitesimales.

Para ser más rigurosos con esto, consideremos el caso especial de las "transformaciones infinitesimales". Si mi prescripción terminológica general anterior ha de ser precisa, tenemos que demostrar que podemos hacer que el concepto de "aproximación de primer orden a una transformación" sea riguroso, y de hecho podemos hacerlo.

Para mayor concreción, restrinjamos la discusión a transformaciones en espacios vectoriales normados. Deje un intervalo abierto$I=(a,b)$que contiene$0$ser dado, y supongamos que$T_\epsilon$es una transformación en algún espacio vectorial normado$X$tal que$T_0(x)$es la identidad. Dejar$T_\epsilon$depender sin problemas de$\epsilon$, entonces definimos la versión infinitesimal$\widehat T$de$T_\epsilon$como sigue. para cada punto$x\in X$, tenemos

$$\widehat T_\epsilon(x) = x + \epsilon\frac{\partial}{\partial\epsilon}T_{\epsilon}(x)\bigg|_{\epsilon=0}$$ La intuición aquí es que podemos imaginar la expansión $T_\epsilon(x)$como una serie de potencias en $\epsilon$; $$T_\epsilon(x) = x + \epsilon T_1(x) + \mathcal O(\epsilon^2)$$ en cuyo caso la expresión anterior para la versión infinitesimal de $T_\epsilon$da $$\widehat {T}_\epsilon(x) = x+\epsilon T_1(x)$$ entonces la transformación $\widehat T$codifica el comportamiento de la transformación $T_\epsilon$a primer orden en $\epsilon$. Los físicos a menudo llaman a la transformación $T_1$el generador infinitesimal de $T_\epsilon$.

Ejemplo. Rotaciones infinitesimales en 2D

Considere la siguiente rotación del plano euclidiano 2D:

$$T_\epsilon = \begin{pmatrix} \cos\epsilon& -\sin\epsilon\\ \sin\epsilon& \cos\epsilon\\ \end{pmatrix}$$ Esta transformación tiene todas las propiedades deseadas descritas anteriormente, y su versión infinitesimal es $$\widehat T_\epsilon = \begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& 1\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0& -\epsilon\\ \epsilon& 0\\ \end{pmatrix}$$ Si actuamos sobre un punto en 2D con esta transformación infinitesimal, entonces obtenemos una buena aproximación de lo que hace la rotación completa para valores pequeños de $\epsilon$porque hemos hecho una aproximación lineal. Pero independientemente de esta declaración, observe que la versión infinitesimal de la transformación está rigurosamente definida.

Relación con grupos de Lie y álgebras de Lie.

Considere un grupo de mentiras$G$. Esto es esencialmente un grupo$G$eso también se puede considerar como una variedad suave de tal manera que la multiplicación de grupos y los mapas inversos también son suaves. Cada elemento de este grupo se puede considerar como una transformación, y podemos considerar una familia uniforme de elementos de grupo de un solo parámetro.$g_\epsilon$con la propiedad que$g_0 = \mathrm{id}$, la identidad en el grupo. Entonces, como arriba, podemos definir una versión infinitesimal de esta familia de transformaciones de un parámetro;

$$\widehat g_\epsilon = \mathrm{id} + \epsilon v$$ el coeficiente $v$de $\epsilon$en esta aproximación de primer orden es básicamente (esto es exactamente cierto para los grupos de Lie de matrices) un elemento del álgebra de Lie de este grupo de Lie. En otras palabras, los elementos del álgebra de Lie son generadores infinitesimales de familias uniformes de un parámetro de elementos del grupo de Lie que comienzan en la identidad del grupo. Para el ejemplo de rotación anterior, la matriz $$\begin{pmatrix} 0& -1\\ 1& 0\\ \end{pmatrix}$$ es por lo tanto un elemento del álgebra de Lie $\mathfrak{so}(2)$del grupo mentira $\mathrm{SO}(2)$de rotaciones del plano euclidiano. Resulta que las transformaciones asociadas con los grupos de Lie están por todas partes en la física (particularmente en la física de partículas elementales y la teoría de campos), por lo que estudiar estos objetos se vuelve muy poderoso.

Invariancia de un lagrangiano.

Supongamos que tenemos un Lagrangiano$L(q,\dot q)$definido en el espacio (haz tangente de la variedad de configuración de un sistema clásico) de posiciones generalizadas$q$y velocidades$\dot q$. Supongamos además que tenemos una transformación$T_\epsilon$definida en este espacio, entonces decimos que el Lagrangiano es invariante bajo esta transformación siempre que

$$L(T_\epsilon(q,\dot q)) = L(q, \dot q)$$ Se dice que el lagrangiano es infinitesimalmente invariante bajo $T_\epsilon$previsto $$L(T_\epsilon(q,\dot q)) = L(q, \dot q) + \mathcal O(\epsilon^2)$$ En otras palabras, es invariante a primer orden en $\epsilon$. Como puede ver fácilmente, la invariancia infinitesimal es más débil que la invariancia.

Curiosamente, solo se requiere una invariancia infinitesimal del lagrangiano para que ciertos resultados (sobre todo el teorema de Noether) se cumplan . Esta es una de las razones por las que las transformaciones infinitesimales y, por lo tanto, los grupos de Lie y las álgebras de Lie, son útiles en física.

Aplicación: Teorema de Noether.

Sea un Lagrangiano$L:\mathscr C\times\mathbb R$ser dado donde$\mathscr C$es un espacio de caminos con un comportamiento suficientemente bueno en el espacio de configuración$Q$. Dada una familia de transformaciones de un parámetro$T_\epsilon:\mathscr C\to\mathscr C$a partir de la identidad. El cambio de primer orden en el Lagrangiano bajo esta transformación es

$$\delta L(q,t) = \frac{\partial}{\partial\epsilon}L(T_\epsilon(q),t)\Big |_{\epsilon=0}$$ Una versión (no la más fuerte) del teorema de Noether dice que si $L$es local en $c$y sus primeras derivadas, es decir, si existe una función $\ell$tal que (en coordenadas locales en $Q$) $L(q,t) = \ell(q(t), \dot q(t), t)$y si $$\delta L(q,t) = 0$$ para todos $c\in\mathscr C$que satisfacen la ecuación de movimiento, es decir, si el Lagrangiano exhibe una invariancia infinitesimal, entonces la cantidad $$G = \frac{\partial \ell}{\partial \dot q^i}\delta q^i, \qquad \delta q^i(t) = \frac{\partial}{\partial\epsilon}T_\epsilon(q)^i(t)\bigg|_{\epsilon=0}$$ se conserva a lo largo de las soluciones de las ecuaciones de movimiento. La prueba es un par de líneas; solo diferencie $G$evaluado en una solución con respecto al tiempo y use la regla de la cadena y las ecuaciones de Euler-Lagrange para mostrar que es cero.

- ¿Cómo es una cantidad infinitesimal?$\delta$al físico?

Para la mayoría de los físicos, significa lo mismo que significó para Newton, Leibniz y Euler. Significa algo que es lo suficientemente pequeño como para que podamos aplicarle un cierto conjunto de técnicas definidas informalmente y obtener respuestas correctas.

Para los físicos que saben más sobre matemáticas después de 1960, significa lo mismo, excepto que son conscientes de que el cuerpo de técnicas finalmente se definió formalmente y demostró ser consistente. De hecho, hay múltiples formas de hacer esto, y para los propósitos de un físico, nunca importa qué formalización se use. Algunos ejemplos de formalizaciones son el análisis no estándar y el análisis infinitesimal suave.

Lo importante a entender aquí es que los resultados obtenidos por personas como Euler fueron correctos . No hay nada malo con las versiones informales de las técnicas.

-¿Por qué los físicos argumentan usando infinitesimales en lugar de cálculo "estándar"?

Los infinitesimales fueron el cálculo estándar durante cientos de años. La razón por la que el tema se desarrolló originalmente en términos de infinitesimales es porque es la forma más natural y cómoda de razonar sobre el tema. A menudo, uno encuentra que cuando un argumento en particular puede expresarse usando infinitesimales o usando métodos épsilon-delta, la profundidad de los cuantificadores es menor en uno en el primer caso.

-¿Cuál es el significado físico de la transformación infinitesimal? ¿Cómo se relaciona con Lie Algebras?

En el ejemplo físico que diste, significa lo que dice: una rotación infinitesimal. El grupo de Lie de rotaciones es un grupo continuo conectado a la identidad. Puedes usar infinitesimales como generadores.

-¿Existe un aparato teórico riguroso para justificar los cálculos que se muestran arriba?

Sí, de hecho hay más de uno, como se explicó anteriormente.

Cabe señalar que el riguroso desarrollo matemático del análisis, debido a Weierstrass et al. no invoca el concepto de un infinitesimal, ni siquiera admite tal concepto. En cambio, formaliza la noción de que algo es "realmente pequeño" en el$\epsilon$-$\delta$definición de un límite.

En lo que se refiere a la física$\epsilon$generalmente se refiere a la precisión experimental o margen de error. Esto significa que$\delta$es un número lo suficientemente pequeño como para que hacerlo más pequeño no haga ninguna diferencia práctica en las predicciones.