¿Cómo tratar diferenciales e infinitesimales?

Hay una vieja tradición, que se remonta al propio Leibniz y continúa mucho en los departamentos de física, de pensar intuitivamente en los diferenciales como " números infinitesimales ". A lo largo de la historia, grandes mentes han criticado a Leibniz por esto (por ejemplo, el gran Bertrand Russell en el Capítulo XXXI de "A History of Western Philosophy" (1945)) por ser informal y acientífico.

Pero entonces sucedió algo profundo: William Lawvere , uno de los pensadores más profundos de los fundamentos de las matemáticas y de la física, enseñó al mundo sobre la teoría del topos y allí sobre la " geometría diferencial sintética ". Entre otras cosas, se trata de un contexto matemático de pleno rigor en el que la vieja intuición de Leibniz y la intuición de muchos físicos ingenuos encuentra una plena justificación formal. En la geometría diferencial sintética, esos diferenciales existen explícitamente ("sintéticamente") como elementos infinitesimales de la línea real.

Una exposición básica de cómo funciona esto está en el nLab en

• diferenciación -- Exposición de la diferenciación a través de infinitesimales

Tenga en cuenta que esta no es solo una gran máquina para producir algo que ya conoce, como inevitablemente algunos se apresurarán a pensar. Por el contrario, esto abre el camino a los lugares más sofisticados de la física moderna. Es decir, la versión "derivada" o " geométrica superior " de la geometría diferencial sintética incluye la geometría D moderna que está en el centro, por ejemplo, de temas modernos como el formalismo BV-BRST (ver, por ejemplo , la encuesta de Paugam ) para la cuantificación de las teorías de calibre, o por ejemplo , la correspondencia geométrica de Langlands , por lo tanto, la dualidad S en la teoría de cuerdas .

(Estoy abordando esto desde el punto de vista del análisis estándar)

No creo que tengas una comprensión satisfactoria de esto hasta que vayas al cálculo multivariable, porque en cálculo 2 es fácil pensar que$\frac{d}{dx}$es todo lo que necesitas y que no hay necesidad de$\frac{\partial}{\partial x}$(Esto es falso y tiene que ver con por qué en general las derivadas no siempre se comportan como fracciones). Esa es una de las razones por las que los diferenciales no son como los números. Sin embargo, hay algunas formas en que los diferenciales son como números.

Creo que lo más fundamental es que si te dicen que$f dx=dy$, esto significa que$y$se puede aproximar como$y(x)=y(x_0)+f\cdot(x-x_0)+O((x-x_0)^2)$cerca del punto$x_0$(esto plantea otro problema*). Dado que este término de primer orden es realmente todo lo que importa después de que uno aplica los procedimientos de limitación del cálculo, esto proporciona un argumento de por qué se permite un tratamiento tan inapropiado de las diferenciales: los términos de orden superior no importan. Esto es una consecuencia del teorema de Taylor , y es lo que le permite a tu profesor de física tratar las diferenciales como números muy pequeños, porque$x-x_0$es como su "dx" y ES un número real. Lo que te permite hacer cosas que no puedes hacer con un solo número real es que esa fórmula para$y(x)$vale para todos $x$, no solo algunos x. Esto le permite aplicar todos los complicados trucos de análisis .

Si me molesta particularmente el tratamiento inadecuado de los diferenciales y veo a alguien trabajando en un ejemplo en el que escribe: "Ahora tomamos el diferencial de$x^2+x$dándonos$(2x+1)dx$", puedo imaginar$dx$siendo un número real estándar, y que hay un pequeño$+O(dx^2)$clavado a un lado.

Tu profesor de matemáticas podría argumentar: "No sabes lo suficiente sobre esos teoremas para aplicarlos correctamente, por eso no puedes pensar en las diferenciales como similares a los números", mientras que tu profesor de física podría argumentar: "La intuición es realmente la clave". algo importante, y tendrías que aprender matemáticas complicadas para verlo como$O(dx^2)$. Es mejor centrarse en la intuición".

Espero haber aclarado las cosas en lugar de hacer que parezcan más complicadas.

*(La notación O es otra lata de gusanos y también se puede usar incorrectamente. Usando la notación vinculada estoy diciendo "$y(x)-y(x_0)-f\cdot(x-x_0)=O((x-x_0)^2)$como$x\to x_0$". Tenga en cuenta que uno podría ver que esto va en contra de mi argumento: no tiene sentido decir "un valor de$x$satisface esta ecuación", por lo que cuando se escribe de esta forma (que su profesor de física puede encontrar más obtuso y su profesor de matemáticas puede encontrar más significativo) es menos una ecuación y más una declaración lógica).

Ver también: https://mathoverflow.net/questions/25054/ different -ways-of-thinking-about-the-derivative

Creo que tu profesor de matemáticas tiene razón. Una forma de ver que los diferenciales no son números normales es observar su relación con las llamadas formas 1. No sé si ya has tenido formularios en cálculo 2, pero es fácil buscar en internet.

Dado que eligió una etiqueta "integrales" en su pregunta, permítame darle un ejemplo basado en una integral. Digamos que tienes una función$f(x^2+y^2)$y quiero integrarlo en alguna área$A$:

$$\int_A f(x^2+y^2) \, dx \, dy$$

Lo importante a tener en cuenta aquí es que el$dx\,dy$en realidad es solo una abreviatura de$dx\wedge dy$. Este$\wedge$cosita es una operación (producto cuña - muy parecido a la multiplicación, pero con reglas ligeramente diferentes) que puede combinar formas (en este caso combina dos$1$-formas a un$2$-forma). Una regla importante para los productos de cuña es la anticonmutación:

$$dx\wedge dy=-dy\wedge dx$$

Esto asegura que$dx\wedge dx=0$(donde un físico podría engañar diciendo que descuida todo el orden$O(dx^2)$, pero eso es como mezclar peras y manzanas, francamente engañoso). ¿Por qué los diferenciales en las integrales se comportarían así y dónde está el significado físico? Bueno, aquí puedes pensar en la 'partididad' de un sistema de coordenadas. Por ejemplo, la medida de integración$dx\wedge dy\wedge dz$es cartesiano 'diestro'. Puedes hacerlo 'zurdo' conmutando el$dx$con$dy$para obtener$-dy\wedge dx\wedge dz$, pero luego aparece el signo menos al frente, lo que asegura que su integración en un sistema de coordenadas 'zurdo' aún le dé el mismo resultado que el inicial 'diestro'.

En cualquier caso, para volver al ejemplo integral anterior, digamos que te gustan más las coordenadas polares para realizar tu integración. Así que haces la siguiente sustitución (asumiendo que ya sabes cómo tomar diferenciales totales):

$$x = r \cos \phi~~~,~~~dx = dr \cos \phi - d\phi\, r \sin \phi$$ $$y = r \sin \phi~~~,~~~dy = dr \sin \phi + d\phi\, r \cos \phi$$

Multiplicando tu$dx\wedge dy$encuentras lo que probablemente ya sabes y esperas:

$$dx\wedge dy = (dr \cos \phi - d\phi\, r \sin \phi)\wedge(dr \sin \phi + d\phi\, r \cos \phi)$$ $$= \underbrace{dr\wedge dr}_{=0} \sin \phi\cos \phi + dr\wedge d\phi\, r \cos^2 \phi - d\phi\wedge dr\, r \sin^2 \phi - \underbrace{d\phi\wedge d\phi}_{=0}\, r^2 \cos \phi \sin \phi$$ $$=r(dr\wedge d\phi \cos^2 \phi - d\phi\wedge dr \sin^2 \phi)$$ $$=r(dr\wedge d\phi \cos^2 \phi + dr\wedge d\phi \sin^2 \phi)$$ $$=r\, dr\wedge d\phi ( \cos^2 \phi + \sin^2 \phi)$$ $$=r\, dr\wedge d\phi$$

Con esto la integral anterior expresada en coordenadas polares quedará correctamente:

$$\int_A f(r^2)r\, dr \, d\phi$$

Donde suprimimos el producto de cuña aquí. Es importante darse cuenta de que si no hubiéramos tratado los diferenciales como formas 1 aquí, la transformación de la medida de integración$dx \, dy$en el que involucra$dr$y$d\phi$no habría funcionado correctamente!

Espero que este ejemplo haya sido lo suficientemente práctico y proporcione una idea de cómo los diferenciales no son números muy pequeños.

En matemáticas la notación$\def\d{\mathrm d}\d x$es en realidad una forma lineal , esto significa que$\d x$es una función lineal tomando un vector y dando un escalar.

Tomemos una función diferenciable$f$definido sobre$\def\R{\mathbf R}\R$y considerarlo en el punto$a$. La tangente a la curva de$f$en el punto$a$tiene una pendiente$f'(a)$. El punto en esta tangente de abscisas$b$tiene ordenada$f_a(b)=f(a)+(b-a)f'(a)$.$f_a(b)$es la aproximación lineal de$f(b)$conocimiento$f$en el punto$a$.

Definimos entonces$\d x(b-a)=b-a$. Tenemos

$$f_a(b)-f(a)=f'(a)\d x(b-a),\tag{1}$$ y escribimos $$\d f_a=f'(a)\d x$$ que es la fórmula (1) escrita para formas lineales . De hecho, la forma lineal$\d f_a$es definido por $$\d f_a(\epsilon)=f'(a)\d x(\epsilon)=f'(a)\epsilon.$$

En física a menudo se hace la confusión entre$\d x$(la forma lineal) y$\epsilon$(el argumento de$\d x$). Espero que entiendas por qué al mirar la última ecuación.

NOTA . Esto puede parecer bastante inútil, pero en dimensión$n>1$esto se vuelve más interesante. de hecho tienes

$$\def\vec#1{\boldsymbol{#1}} \def\der#1#2{\frac{\partial #2}{\partial #1}} \d f_{\vec a}=\nabla f(\vec a)\cdot\d\vec r=\begin{pmatrix}\der {x_1}{f(\vec a)}\\\vdots\\\der {x_n}{f(\vec a)}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\d x_1\\\vdots\\\d x_n\end{pmatrix}$$ que se traduce en, por$\vec\epsilon=(\epsilon_1,\dots,\,\epsilon_k)\in\R^n$, $$\d f_{\vec a}(\vec\epsilon)=\sum_{k=1}^n \der{x_k}{f(\vec a)}\d x_k(\vec\epsilon)=\sum_{k=1}^n\der{x_k}{f(\vec a)}\epsilon_k,$$ porque$\d x_k(\vec\epsilon)=\epsilon_k$($\d x_k$es el$k^{\rm th}$forma de coordenadas).

Hay una vieja tradición que se remonta al propio Leibniz de pensar intuitivamente en los diferenciales como "números infinitesimales". A lo largo de la historia, grandes mentes han criticado a Leibniz por esto. Por lo tanto, Russell aceptó la afirmación de Cantor de que los infinitesimales son inconsistentes e incluso la reprodujo en su libro Principios de las matemáticas en 1903.

Pero entonces sucedió algo profundo en 1961: Abraham Robinson, uno de los pensadores más profundos de los fundamentos de las matemáticas, enseñó al mundo una construcción rigurosa de infinitesimales en el marco tradicional de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, expresada en términos de la teoría de tipos Entre otras cosas, se trata de un contexto matemático de pleno rigor en el que la vieja intuición de Leibniz y la intuición de muchos físicos ingenuos encuentra una plena justificación formal. En el marco de Robinson, esos diferenciales existen explícitamente como elementos infinitesimales de un campo cerrado real adecuado.

Una exposición detallada de cómo funciona esto se encuentra en el libro de Robinson de 1966, pero desde entonces se han desarrollado tratamientos más simples, como los libros de Martin Davis o Robert Goldblatt, incluida la exposición de la diferenciación a través de infinitesimales.

Tenga en cuenta que esta no es solo una gran máquina para producir algo que ya conoce, como inevitablemente algunos se apresurarán a pensar. Por el contrario, esto abre el camino a los lugares más sofisticados de la física moderna, como se desarrolla en detalle en el libro de Albeverio et al.:

Albeverio, Sergio; Høegh-Krohn, Raphael; Fenstad, Jens Erik; Lindström, Tom. Métodos no estándar en análisis estocástico y física matemática . Matemáticas puras y aplicadas, 122. Academic Press, Inc., Orlando, FL, 1986. xii+514 págs.

Nota 1. La contribución de Lawvere en el marco de la teoría de categorías data de la década de 1970.

Nota 2. (En respuesta a la pregunta del usuario Ovi) El marco de Robinson es parte del análisis tradicional en el sentido de que utiliza los fundamentos tradicionales de Zermelo-Fraenkel y la lógica clásica (a diferencia del enfoque de Lawvere que se basa en la lógica intuicionista en una ruptura con las matemáticas clásicas ). El marco de Robinson es un área de investigación activa en la actualidad, que presenta su propia revista: Journal of Logic and Analysis (ver http://logicandanalysis.org/ ) y un número cada vez mayor de monografías; más recientemente por Loeb y Wolff (ver http://www.springer.com/us/book/9789401773263 ).

Como puede ver en la variedad de respuestas, hay muchas posibilidades para interpretar diferenciales matemáticamente exactos.

Una buena interpretación simple es como coordenadas de vectores tangenciales.

Considere una ecuación

$$z = f(x,y)$$ describir una superficie curva en un espacio tridimensional ( $z$es la altura).

Entonces la ecuación

$$dz = \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) \cdot dx + \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) \cdot dy$$ describe los puntos $(\bar x,\bar y,\bar z)=(x+dx,y+dy,z+dz)$del plano tangencial en el punto $(x,y,z)$en la superficie. Esta ecuación a menudo se denomina ecuación tangente .

si tienes algun punto en especifico$(x,y,z)$dado por valores de coordenadas como números y me gustaría tener también un punto específico en el plano tangente solo ingrese números para$dx$,$dy$y$dz$. Por lo tanto, los diferenciales pueden representar números. Por que no.

Hasta aquí todo bien. Ahora, ¿por qué los números deberían ser pequeños? Suponemos que la superficie es lisa en el punto$(x,y,z)$, significa que$f$debe ser continuamente diferenciable allí. Después

$$\frac{z+dz - f(x+dx,y+dy)}{|(dx,dy)|}\rightarrow 0 \quad\text{ for } |(dx,dy)|\rightarrow 0$$ dónde $dz$cumple la ecuación tangente anterior. Aquí $|(dx,dy)|=\sqrt{dx^2 + dy^2}$denota la norma euclidiana.

La división por$|(dx,dy)|$veamos una imagen a escala de la superficie alrededor del punto$(x,y,z)$. Para mantener los ángulos como están, escalamos la imagen uniformemente en todas las direcciones. La imagen siempre se escala de manera que la perturbación$(dx,dy)$desde el punto$(x,y,z)$está en el orden de magnitud de 1. Incluso en esta imagen ampliada, la altura$z+dz$del punto perturbado$(x+dx,y+dy,z+dz)$en el plano tangencial se ajusta cada vez mejor a la altura correspondiente$f(x+dx,y+dy)$en la superficie curva.

$\sum$: El plano tangente con las coordenadas locales$dx$,$dy$y$dz$se adapta mejor a la superficie curva, menores las perturbaciones$dx,dy,dz$son.

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Para aclarar las cosas, consideremos un ejemplo. Sea la superficie curva

$$z=x^2-y.$$ Elegimos el punto específico con $x=1$y $y=2$flexible $z=1^2-2 = -1$. La ecuación tangente es $$dz = 2x\cdot dx - dy,$$ y en nuestro punto especifico $$dz = 2 dx - dy.$$ Para tener un punto específico en el plano tangente consideremos las diferenciales $dx=\frac14$y $dy=1$flexible $$dz = 2\cdot\frac14 - 1 = -\frac12.$$

La ubicación de este punto en el plano tangente en el espacio tridimensional es$(x+dx,y+dy,z+dy)=\left(1+\frac14,2+1,-1-\frac12\right)=\left(\frac54,3,-\frac32\right)$.

Al mismo$x$- y$y$-coordenadas obtenemos en la superficie curva la altura$z'$con

$$z' = f(x+dx,y+dy) = f\left(\frac54,3\right) = \left(\frac54\right)^2 - 3 = -\frac{23}{16} = -1.4375.$$ Está un poco fuera de la altura. $z+dz=-1.5$del punto correspondiente en el plano tangente.

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Incluso si presenté aquí un ejemplo numérico en la práctica, los diferenciales se usan más a menudo como variables para determinar las relaciones entre los diferenciales (con su interpretación como coordenadas tangentes).

En el contexto de las coordenadas tangentes, el cociente diferencial$\frac{dy}{dx}=f'(x)$es la razón de las coordenadas$dx$y$dy$de la tangente en la gráfica de$f$a$x$.

Siempre que evite la división por cero, puede dividir a través de un diferencial$dx$(como coordenada tangente).

Con el objetivo de mantener la complejidad al mínimo, la mejor solución "unificadora" es pensar en diferenciales, infinitesimales, números, etc. como símbolos matemáticos a los que se aplican ciertas características, propiedades y operaciones matemáticas (reglas).

Dado que no todas las reglas son aplicables a todos los símbolos, debe aprender qué reglas son aplicables a un conjunto de símbolos en particular.

Ya sea que esté aprendiendo fracciones, decimales, diferenciales, etc., solo aprenda los símbolos y sus reglas y operaciones particulares y eso será suficiente el 99% del tiempo.

El significado matemático riguroso de los infinitesimales se da en el análisis usando el$\epsilon$-$\delta$definición de un límite. En lo que se refiere a la física$\epsilon$generalmente se refiere a la precisión experimental o margen de error. Esto significa que$\delta$es un número lo suficientemente pequeño, entonces hacerlo más pequeño no hace ninguna diferencia práctica para las predicciones.

el formal$\epsilon$-$\delta$La definición de un límite estrictamente no significa el punto final de un proceso infinito, sino que simplemente significa que continuar el proceso no tiene sentido empíricamente.

La razón por la que los matemáticos no usarán$dx$como numero es eso$dx$sólo se define como parte de una expresión, no como algo en sí mismo. En física$dx$se puede tomar para significar$\delta x$, un número lo suficientemente pequeño como para que la precisión experimental no se vea afectada.

Estoy de acuerdo con las respuestas ya publicadas, pero siento que les falta un aspecto importante: los diferenciales son objetos matemáticos , y para un físico son una herramienta teórica (¡muy importante!) Pero sigue siendo una herramienta, y como todo lo que es Un resultado experimental (o un intento de una teoría fundamental) debe usarse de una manera que lo haga útil, no en la forma en que "debería ser".

Toma una llave inglesa. Si le pregunta a un diseñador si la llave inglesa es un martillo, lo más probable es que responda que no, con razón, porque no lo es. Pero si necesita clavar un clavo, y si descubre que las llaves funcionan bien y son más fáciles de alcanzar por alguna razón, ¡adelante, use llaves!

Los diferenciales en física a menudo se usan como algo que se supone que no deben hacer: en la regla de la cadena puedes tratarlos como fracciones, en el jacobiano puedes tratarlos como pequeños elementos de longitud en la dirección de las diferentes coordenadas. ¿Significa esto que son fracciones o longitudes diminutas? ¡Absolutamente no! Pero si funciona (es decir, obtienes un resultado experimentalmente correcto), no hay razón por la que no debas usarlo. Hay veces que notrabajo: en estos casos, no tendrás la espada láser llameante de Newton a tu lado y necesitarás hacer cálculos matemáticos. Por supuesto, no saber qué son realmente los diferenciales deja el conocimiento incompleto, pero sus cálculos seguirán siendo correctos en los casos anteriores. Como decía mi profesor de cálculo, "los ingenieros siempre usan diferenciales como fracciones, los matemáticos siempre como formas diferenciales, los físicos aprenden que son formas diferenciales y luego las usan como fracciones".