¿Cómo escribió Newton sus ecuaciones?

Esta pregunta implica dos puntos bastante diferentes. Implica las prácticas de Newton para anotar no solo las derivadas, sino también las funciones (o cualquier otra cosa) que usó para indicar los valores de esas derivadas. En los casos en los que ahora podríamos escribir dy/dx = { alguna función } , la pregunta involucra las prácticas de Newton para expresar tanto el lado izquierdo como el derecho. Las 'ecuaciones', como las anotamos ahora, fueron solo una de las varias formas en que escribió relaciones de este tipo, como se puede ver en los siguientes ejemplos y sus fuentes.

El comentario de Michael E2 muestra una de las formas (notación fluxional) en las que Newton indicó una derivada para la que ahora podríamos escribir dy/dx. Más allá de eso, Newton también usó otras formas de indicar derivadas o tasas de cambio, no todas ellas relacionadas con la notación de fluxiones, y algunas de ellas sin involucrar símbolos en absoluto.

Un tipo notable de ejemplo se puede encontrar, por ejemplo, en la Proposición 34 (Libro 3) de los Principia . Aquí, Newton se comprometió a "encontrar la variación horaria de la inclinación de la órbita de la Luna con respecto al plano de la eclíptica". Newton dio una especificación geométrica bastante complicada para la cantidad de esta variación: asciende, cuando se traduce, a un triple producto de senos/cosenos. Luego, Newton pasó (en la Proposición 35) a integrar (una versión simplificada de) esta cantidad geométricamente con respecto al tiempo, para producir un resultado que muestra la variación periódica de la inclinación real de la órbita en cualquier momento (estrictamente, su diferencia con la inclinación media, que juega aquí el papel de la constante arbitraria en la integración).

De todo eso, especialmente de la integración, está claro que la 'variación horaria de la inclinación' de Newton significaba lo que ahora podríamos escribir como di/dt, donde i es la inclinación y t el tiempo. PS Laplace más tarde lo trató así. Así, cuando Laplace consideró este mismo pasaje en Newton, "tradujo" la expresión geométrica de Newton para el valor de la "variación horaria" en una fórmula trigonométrica (ver PS Laplace, Traite de Mecanique Celeste, tomo 5 (1825), livre XVI, ch.2, art.3 en p.375, discutiendo la inclinación desde p.379 en adelante, en ( https://books.google.com/books?&id=UdZGAQAAMAAJ )). Luego, Laplace desarrolló su integral (lo que hizo con una generalidad más amplia que el tratamiento de Newton, que había implicado cierta simplificación antes de la integración, pero eso no significa

El ejemplo dado hasta ahora muestra a Newton usando, para la cantidad de la tasa de cambio en la que estaba interesado, una definición geométrica (que era traducible, y luego traducida, a notación trigonométrica). En otros ejemplos, usó series algebraicas, pero los usos de series algebraicas de Newton parecen provenir principalmente de una parte anterior de su carrera. Cuando Newton usó series, su notación para los términos a veces no era muy diferente de lo que podría escribirse ahora, excepto por detalles como aaa para$a^3$etcétera. Véase, por ejemplo , The Mathematical Papers of Isaac Newton , volumen II: 1667-1670, (ed.) DT Whiteside (1968), ( https://books.google.com/books?id=AQ3tveOwseoC ), donde página 206 y siguientes . dar versiones en latín e inglés de 'Sobre el análisis por ecuaciones infinitas en número de términos' de Newton y mostrar algunas de sus prácticas para escribir tales series.

En 'Correspondencia de Isaac Newton' vol.1 en p.52 (24 de diciembre de 1670, John Collins a James Gregory) Collins informó, entre otras cosas obtenidas de Newton, la serie de Newton para el arcoseno. Una descripción más larga de cómo Newton obtuvo esto (mediante la integración término a término de la serie obtenida por la expansión binomial de 1 /$\sqrt(1-x^2)$) se da por ejemplo (pero con notación modernizada) en 'The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue', de William Dunham (2005), en la p.17. (El propósito de Newton al usar la serie no parece, al menos en este caso, haber sido "obtener una mejor aproximación": más bien fue convertir una expresión que era efectivamente intratable tal como estaba, en una forma fácilmente integrable).

(John Collins era un conocido "inteligente" matemático de la época de Newton, que vio una serie de invenciones (a menudo algebraicas) de Newton y se las informó a sus corresponsales. duda en forma algebraica, de Newton, porque Newton (y Barrow) entonces "comenzaban a pensar que las especulaciones matemáticas se volvían al menos agradables y secas, si no algo estériles" (Isaac Newton Corresp vol 1 p.355 (19 de octubre de 1675, John Collins a James Gregory)). La carta resultó ser profética, ya que Collins nunca más volvió a escuchar nada de las matemáticas de Newton, y Newton se volvió más hacia el lenguaje de la geometría para expresar sus investigaciones matemáticas. Las razones de Newton'Su (supuestamente) creciente desafección por el tipo de matemáticas en las que se había involucrado hasta ese momento quizás merezca una investigación más completa).