¿Cuál es el significado matemático de la siguiente expresión C=δQdTC=δQdTC=\frac{\delta Q}{dT}?

yo) El uso de$\delta$en la derivada

$$C~=~\frac{\delta Q}{dT}$$

es porque en termodinámica, el calor$Q$no es una función de estado . En particular, el diferencial$\delta Q$es in-exacta .

II) En detalle, la capacidad calorífica $C$no se obtiene por diferenciación de alguna función ordinaria wrt. temperatura$T$. Más bien debe ser visto como una relación

$$C~=~\frac{Q}{\Delta T}$$

dónde$\Delta T$es suficientemente pequeño (visto desde todos los propósitos físicamente relevantes).

Puedes tomar la expresión$C=\frac{\delta Q}{\mathrm dT}$como la versión infinitesimal de

$$C=\frac{Q}{\Delta T}$$ o una reescritura formal de $$\delta Q=C\mathrm dT$$ que, sin embargo, no tiene sentido en el lenguaje de las formas diferenciales como división por la forma $\mathrm dT$no está definido.

Echemos un vistazo al significado de$\delta Q=C\mathrm dT$asumiendo formas diferenciales:

Por la segunda ley de la termodinámica,$\delta Q = T\mathrm dS$. El$\delta$no tiene un significado especial, es solo un recordatorio de que estamos tratando con una forma diferencial y no con una función (no podemos escribir$\mathrm dQ$aquí como la forma no es exacta, es decir, no es el diferencial de alguna función de estado$Q$).

Los sistemas termodinámicos son en general al menos bidimensionales y permiten diferentes opciones de coordenadas, por lo que suponga$S$está representado por una función de la temperatura y otra variable, por ejemplo$S=S(V,T)$o$S=S(P,T)$.

La definición de capacidad calorífica de arriba asume que$S$es una función de$T$solo ya que el lado derecho no contiene términos con$\mathrm dV$o$\mathrm dP$. En general, necesitamos una restricción adicional en los procesos permitidos, como$V=\mathrm{const}$o$P=\mathrm{const}$, cuyos rendimientos$C_V$o$C_P$respectivamente.

Bajo este supuesto, tenemos

$$\mathrm dS = \frac{\partial S}{\partial T} \mathrm dT$$ es decir $$C\mathrm dT = \delta Q = T\frac{\partial S}{\partial T} \mathrm dT$$ y finalmente $$C = T\frac{\partial S}{\partial T}$$

Una nota adicional para los más inclinados a las matemáticas:

Geométricamente, las restricciones$V=\mathrm{const}$o$P=\mathrm{const}$definir una subvariedad unidimensional donde el retroceso de$\delta Q$a través de la incrustación natural será (localmente) exacta. De hecho, este retroceso debe incluirse para que las ecuaciones anteriores se ajusten a la notación utilizada en geometría diferencial:

Dejar$\nu$ser nuestra incrustación con$\mathrm d\tau = \nu^*\mathrm dT$no degenerado. hay una funcion$C_\nu$y como$\nu^*\delta Q$está cerrado) otra función$Q_\nu$(o más bien una familia de funciones definidas localmente) con

$$\nu^*\delta Q = C_\nu \mathrm d\tau = \mathrm dQ_\nu$$ eso es $$C_\nu = \frac{\partial Q_\nu}{\partial\tau}$$ En caso de $V=\mathrm{const}$, $Q_\nu$es el retroceso de la energía interna $U$, mientras que en caso de $P=\mathrm{const}$, $Q_\nu$es el retroceso de la entalpía $H$.

En notación física esto se lee

$$C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V \\ C_P = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P$$

Ya ves, como se dijo$Q$no es una característica del sistema (no es una función de estado). Depende del proceso. La forma directa de implementar la noción de proceso es ver$Q$como una función del tiempo. Así podrías ver$C$como:

$$C(t) = \frac{dQ/dt}{dT/dt}$$

En el caso de un proceso reversible sin intercambio de materia con el medio ambiente:

$$\frac{dQ}{dt} = T \frac{dS}{dt}$$

Consideremos un gas ideal monoatómico y un proceso con volumen y velocidades constantes que nos permitan usar relaciones de equilibrio y asumir reversibilidad:

$$C_V = \frac{T \; dS/dt}{dT/dt} = \frac{dU/dt}{dT/dt} = \frac{\frac{3}{2} R NT \; dT/dt}{dT/dt} = \frac{3}{2} R NT$$

En resumen, siempre puedes ver$dQ$como un diferencial completo, pero a tiempo, tratando$Q$como una función del tiempo. Aprendí este truco del libro "Modern Thermodynamics: From Heat Engines to Dissipative Structures" de Kondepudi y Prigogine.

Tenga en cuenta que eso es perfectamente estricto matemáticamente: solo el cociente de dos derivadas, sin formas diferenciales o algún razonamiento resbaladizo con infinitesimales.

La capacidad calorífica puede cambiar con$T$haciendo de esto un diferencial no exacto. Este es también el caso con otras ecuaciones en termodinámica. La capacidad de calor a la que hace referencia aquí, por supuesto, también varía con la presión y el volumen y esto es lo que lleva a las siguientes definiciones de capacidad de calor a presión constante$C_{p}$y volumen constante$C_{v}$.

$C_{p} = (\frac{\partial Q}{\partial T})_{p}$

y

$C_{v} = (\frac{\partial Q}{\partial T})_{v}$

Interpretaría tu ecuación original simplemente como

$Q = C\,\Delta T$

Eso es$Q$es la cantidad de calor requerida por una sustancia con capacidad calorífica$C$, para cambiar la temperatura de la sustancia por$\Delta T$.

Espero que esto ayude.

Extensión a la dirección Comentarios:

Por supuesto, tener una derivada parcial tiene sentido en este contexto. Tomemos el caso de volumen constante; cuando se agrega calor a una sustancia (líquido, por ejemplo) a volumen constante, no se realiza trabajo, por lo que el calor agregado es igual al aumento en la energía interna del fluido. Escribiendo$Q_{v}$para el calor agregado a volumen constante (como en las ecuaciones anteriores), tenemos

$Q_{v} = C_{v} \Delta T$

ciencia$W = 0$(trabajo), podemos escribir

$Q_{v} = \Delta U + W = \Delta U$.

De este modo,

$\Delta U = C_{v} \Delta T$.

Tomando el límite como$\Delta T$se acerca a cero encontramos

$\mathrm{d} U = C_{v} \mathrm{d}T$

La mayoría de las respuestas dadas ya describen cómo llegar a la definición matemática y solo puedo agregar un enfoque más fenomenológico.

El calor específico experimental se define como el coeficiente de entrada de energía térmica al aumento de temperatura de un sistema adiabático (con presión o volumen constante)

$$C = \frac{\Delta Q}{\Delta T},$$ y también sabemos por experimentos que $C = C(T)$. Entonces, para no promediar en un intervalo grande, tenemos que reducir la energía térmica tanto como sea posible y medir la respuesta, el aumento de temperatura: $$C(T) = \lim\limits_{\Delta Q\rightarrow 0} \frac{\Delta Q}{\Delta T}$$ Si hubiera una función única $Q(T,C)$escribiríamos esto como la derivada $$C(T) = \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{Q(T, C)-Q(T+h, C)}{h} =\frac{dQ}{dT},$$ pero resulta que importa cómo se introduce la energía térmica en el sistema. Esto significa que no hay una función única. $$Q = \int dQ,$$ por lo que recurrimos a la diferencial inexacta , denotada por $\delta Q$y defina el calor específico como $$C(T) =\frac{\delta Q}{dT}$$