¿Cuál es la definición de ∂↔∂↔\overleftrightarrow{\partial} en Dirac Lagrangian?

Como dijo Countto10 , esta es una notación abreviada:

$$f\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_\mu}g \equiv f\,(\partial_\mu g)-(\partial_\mu \,f)\,g$$ véase, por ejemplo, el libro QFT de Srednicki , página 40. Para llegar al dirac lagrangiano habitual,
$$\begin{align*} \mathcal L &= \frac{\text i}{2} \bar\psi\gamma^\mu\!\!\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_\mu} \psi -m \bar\psi \psi\\ &= \frac{\text i}{2} \big( \bar\psi \gamma^\mu\partial_\mu \psi - \partial_\mu\bar\psi\gamma^\mu\psi \big)-m \bar\psi \psi\\ &= \frac{\text i}{2} \bar\psi \gamma^\mu\partial_\mu \psi - \frac{\text i}{2} \big[ \underbrace{\partial_\mu(\bar\psi\gamma^\mu\psi)}_{\text{surface term}}-\bar\psi \gamma^\mu\partial_\mu \psi \big]-m \bar\psi \psi\\ &= \text i \bar\psi \gamma^\mu\partial_\mu \psi-m \bar\psi \psi\\ &= \bar\psi(\text i \gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi. \end{align*}$$