Símbolos de derivados

Típicamente:

• $\rm d$denota la derivada total (a veces llamada diferencial exacta ): $$\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}f(x,t)=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}$$ Esto también se denota a veces a través de $$\frac{Df}{Dt},\,D_tf$$
• $\partial$representa la derivada parcial (derivada de$f(x,y)$con respecto a$x$en constante$y$). Esto a veces se denota por $$f_{,x},\,f_x,\,\partial_xf$$
• $\delta$es para pequeños cambios de una variable , por ejemplo, minimizar la acción $$\delta S=0$$ Para diferencias mayores, se utiliza$\Delta$, p.ej: $$\Delta y=y_2-y_1$$

NB: Estas definiciones no son necesariamente uniformes en todos los subcampos de la física, así que tenga cuidado de tener en cuenta la intención del autor . Algunos contraejemplos (entre muchos más):

• $D$puede denotar la derivada direccional de una función multivariada$f$en la dirección de$\mathbf{v}$: $$D_\mathbf{v}f(\mathbf{x}) = \nabla_\mathbf{v}f(\mathbf{x}) = \mathbf{v} \cdot \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial\mathbf{x}}$$
• Más generalmente$D_tT$se puede utilizar para denotar la derivada covariante de un campo tensorial$T$a lo largo de una curva$\gamma(t)$: $$D_tT=\nabla_{\dot\gamma(t)}T$$
• $\delta$también puede representar la derivada funcional : $$\delta F(\rho,\phi)=\int\frac{\delta F}{\delta\rho}(x)\delta\rho(x)\,dx$$
• El símbolo$\mathrm{d}$puede denotar la derivada exterior , que actúa sobre formas diferenciales; en un$p$-forma, $$\mathrm{d} \omega_p = \frac{1}{p!} \partial_{[a} \omega_{a_1 \dots a_p]} \mathrm{d}x^a \wedge \mathrm{d}x^{a_1} \wedge \dots \wedge \mathrm{d}x^{a_p}$$ que lo asigna a un$(p+1)$-forma, aunque los factores combinatorios pueden variar según la convención.
• los$\delta$El símbolo también puede denotar el diferencial inexacto , que se encuentra en su relación termodinámica. $${\rm d}U=\delta Q-\delta W$$ Esta relación muestra que el cambio de energía$\Delta U$es independiente de la trayectoria (solo depende de los puntos finales de integración) mientras que los cambios en el calor y el trabajo$\Delta Q=\int\delta Q$y$\Delta W=\int\delta W$son dependientes de la ruta porque no son funciones de estado .

Primero, quiero decir que diferentes personas usan una notación diferente y agradezco cualquier comentario. También siento como si estuviera a punto de entrar en un campo minado.

Aquí la respuesta se compone de ejemplos de uso de$d$,$\partial$y$\delta$.

Yo diría por$d$que

$dV \over dx$

sería la derivada total en una dimensión para$V(x)$donde el potencial$V$es una función de una sola variable,$x$.

Si$V$es una función de dos o más variables, digamos$x$y$y$, entonces tenemos$V(x,y)$y cuando se diferencia con respecto a$x$y$y$obtenemos

$\partial V \over \partial x$y$\partial V \over \partial y$

si volvemos a diferenciar podemos obtener

$\partial^2 V \over \partial x^2$,$\partial^2 V \over \partial x\partial y$y$\partial^2 V \over \partial y^2$Etcétera.

Finalmente, por$\delta$, Yo diría que$\delta$representa algo pequeño, pero no infinitesimal. Así por ejemplo si$y=x^2$y aumentamos$x$por una pequeña cantidad a$x + \delta x$El valor de$y$se convierte$y + \delta y$y podemos escribir

$$y + \delta y = (x + \delta x)^2 = x^2 + 2x\delta x + \delta x^2$$

ahora porque$y = x^2$podemos simplificar esto para dar

$$\delta y = 2x\delta x + \delta x^2$$

y luego dividir ambos lados por$\delta x$Llegar

$${\delta y \over \delta x} = 2x + \delta x \approx 2x$$

Ahora bien, si hacemos el$\delta x$evanescentemente pequeño (o infinitesimalmente pequeño) lo escribimos como$dx$y nuestra ecuación anterior se convierte en

$${d y \over d x} = 2x + d x = 2x$$

o

$${d y \over d x} = 2x$$

porque$dx$es tan pequeño que es efectivamente cero.

Finalmente, algunos otros usos. En termodinámica a veces tenemos$dU$o$TdS$dónde$d$está destinado a ser 'un pedacito que se desvanece'. La distinción entre$\delta$y$d$usted describe en la pregunta no es uno con el que estaba familiarizado; tiene sentido, ya que el autor quiere establecer la distinción entre las cantidades dependientes de la ruta y las independientes de la ruta; claramente en ese ejemplo, ambos$d$y$\delta$son infinitesimales. En física experimental,$\delta$puede usarse para representar el error experimental (o la incertidumbre) en un valor, por ejemplo $\lambda \pm \delta \lambda$esto encaja con$\delta$ser pequeño, pero no irrisoriamente pequeño.