Usando la separación de variables para resolver la ecuación de Schrödinger para una partícula libre

La suposición de que la separabilidad y la normalizabilidad están vinculadas de alguna manera es incorrecta. Se puede demostrar directamente que es incorrecto porque podemos usar la separabilidad ansatz, usar$\hat{H}\vert\psi\rangle=E\vert\psi\rangle$, y obtenga un conjunto completo de soluciones y estén de acuerdo con nuestra ansatz de separabilidad. Entonces, se puede decir que el éxito del proceso justifica el ingrediente ansatz.

Ahora, llegando a su confusión central. Un estado propio de energía de una partícula libre con energía$E$es dado por$e^{-iEt}(Ae^{ikx}+Be^{-ikx})$dónde$E=\frac{k^2}{2m}$. Puede comprobar que esta solución satisface la ecuación de Schrödinger. Esto no es normalizable pero es perfectamente separable.

Finalmente, cabe señalar que las funciones de onda no normalizables, de hecho, no pueden describir una partícula/sistema físico. Sin embargo, son útiles porque surgen como funciones propias de los operadores de posición y momento y forman una base completa para todas las funciones de onda normalizables. Entonces, las funciones de onda no normalizables no viven en sí mismas en el espacio de Hilbert, pero proporcionan una base para el espacio de Hilbert. Y así, resolver la ecuación de Schrödinger en esta base es equivalente a resolverla para todas las funciones de onda.

Por ejemplo, un paquete de ondas gaussianas de la forma$\psi(x,0)=Ae^{-x^2/\Delta}$se puede ver como la combinación lineal$\psi(x,0)=\int \frac{dp}{2\pi}\ e^{ipx}\tilde\psi(p)$dónde$\tilde\psi(p)$es la transformada de Fourier de$\psi(x,0)$. Ahora, podemos calcular trivialmente$\psi(x,t)=\int \frac{dp}{2\pi}\ e^{-ip^2t/2m}e^{ipx}\tilde\psi(p)$. Por supuesto, simplemente mencioné la función de onda gaussiana como ejemplo, las mismas fórmulas y el procedimiento se pueden usar para cualquier función de onda inicial.

Por lo tanto, esta no es una solución válida.

La solución es una solución matemáticamente válida pero no se puede usar para modelar una partícula con un (x,y,z,t) específico.

Pero, ¿cómo es esto posible si ya sabemos que no podemos usar el método separable de variable para resolver la ecuación de Schrödinger?

Si uno usa otro$k$en las soluciones de la onda plana, uno tiene muchas ondas planas que se pueden usar para modelar una partícula libre con la solución del paquete de ondas de las ecuaciones de onda, dando la incertidumbre mecánica cuántica al momento de la partícula.

Esta es una forma útil de pensar en el modelado de partículas libres en la mecánica cuántica, pero afortunadamente no es necesario cuando existe un potencial con el que interactúa la partícula. Allí el modelo es la solución directa de la ecuación apropiada con el potencial, o el uso de la teoría cuántica de campos y los diagramas de Feynman que permiten ajustar y predecir las interacciones de las partículas.

Ciertamente es cierto que un vector de estado genérico$\psi_t$no se puede escribir en la forma$\psi_t = f(t)\phi$para algunos vectores$\phi$en el espacio de Hilbert. En$2$dimensiones, por ejemplo, uno podría tener algo de la forma$\psi_t = \pmatrix{e^{i\omega t}\\ e^{-i\omega t}}$, que no se puede escribir como una función escalar dependiente del tiempo que multiplica un vector constante.

Sin embargo, si elige una base fija$\{\phi_n\}$, entonces cualquier vector se puede expresar como una combinación lineal$\sum_n c_n \phi_n$. En particular, en cada instante el vector de estado se puede expresar de esta forma, cambiando los coeficientes de un momento a otro. Como resultado, el hecho de que el vector de estado dependiente del tiempo pueda expresarse como$\psi_t = \sum_n c_n(t) \phi_n$es una declaración esencialmente trivial -después de todo, el$\phi_n$son una base para cada$t$- y la separabilidad, tal como la define, deja de ser un problema. Elegir la base$\{\phi_n\}$ser valores propios del hamiltoniano hace que resolver la ecuación de Schrödinger sea igualmente trivial, dando como resultado$c_n(t) = c_n(0) e^{-iE_n t/\hbar}$.

Cuando el espectro del hamiltoniano es discreto, entonces se garantiza que existe una base ortonormal de vectores propios de energía, por lo que el procedimiento anterior está perfectamente definido. Sin embargo, cuando el espectro es continuo , esto ya no es cierto, como en este caso$H$ no tiene vectores propios. En nuestro curso introductorio, aprendemos que si nos olvidamos de los requisitos de normalizabilidad, existen funciones$\phi_k$que se comportan un poco como vectores propios; además, podemos expandir estados genuinos y normalizables como superposiciones integrales

$$\psi_t = \int c_k(t) \phi_k\mathrm dk$$

Sin duda, este procedimiento funciona bien, pero uno puede preguntarse cómo podemos justificarlo. Esencialmente, hay dos rutas rigurosas que uno podría tomar: una desarrollada por John von Neumann y la otra por Israel Gelfand. El enfoque de Gelfand es una formalización del procedimiento heurístico de Dirac, pero una discusión técnicamente detallada del mismo requiere el desarrollo de un cuerpo de maquinaria adicional bastante grande más allá del propio espacio de Hilbert; como resultado, me enfoco aquí en justificar el procedimiento del "vector propio generalizado" a través de la lente técnicamente más simple de von Neumann.

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En este enfoque$^{1}$, tomamos como nuestro espacio de Hilbert$\mathscr H := L^2(\mathbb R)$. nuestro hamiltoniano$H$con dominio$\mathrm{dom}(H)$es dado por

$$\mathrm{dom}(H):= \{\psi\in L^2(\mathbb R) \ : \ \psi \text{ is twice weakly-differentiable and }\psi''\in L^2(\mathbb R)\}$$ $$\big(H\psi\big)(x) := -\frac{1}{2}\psi''(x)$$

Este dominio también se llama el espacio de Sobolev$W^{2,2}(\mathbb R)$.$H$es autoadjunto y tiene un espectro puramente continuo dado por$\sigma(H) = [0,\infty)$. Este último hecho implica que no tiene funciones propias, es decir, no hay elementos$\psi\in \mathrm{dom}(H)$que satisfacen$H\psi = \lambda \psi$para algunos$\lambda\in \mathbb C$. Sin embargo, el hecho de que sea autoadjunto implica que hay un operador unitario$U$tal que$\widehat H = U^\dagger H U$es un$\mathbb R$-operador de multiplicación, donde un operador de multiplicación$M$es uno tal que$\big(M\psi\big)(x) = m(x) \psi(x)$para alguna funcion$m$; esta es una de las tres declaraciones equivalentes del teorema espectral para operadores autoadjuntos .$^{2}$

En este caso, podemos dejar$U$ser el operador de Fourier

$$\big(U\psi\big)(k)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb R} \psi(x) e^{-ikx} \mathrm dx$$ No es dificil ver que $$\big(\widehat H f\big)(k) = \frac{k^2}{2} f(k)$$ y así, dada cualquier$\psi\in \mathrm{dom}(H)$, podemos escribir de manera equivalente $$\big(H\psi\big)(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb R} \frac{k^2}{2} \tilde\psi(k) e^{-ikx} \mathrm dk$$ dónde$\tilde \psi \equiv U\psi$es la transformada de Fourier de$\psi$. A través del propagador independiente del tiempo, la evolución temporal viene dada por

$$\psi_t = e^{-iHt}\psi_0 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb R} e^{-i\frac{k^2}{2} t} \tilde \psi_0(k) e^{-ikx} \mathrm dk$$ que se obtiene directamente exponenciando el operador de multiplicación, es decir, si$\big(M\psi\big)(x) = m(x)\psi(x)$, entonces$\big(e^M\psi\big)(x) = e^{m(x)}\psi(x)$. De manera equivalente, la ecuación de Schrödinger produce $$i\frac{d}{dt}\psi_t = H\psi_t \iff i\frac{d}{dt}\tilde\psi_t=\frac{k^2}{2}\tilde \psi_t$$ $$\implies \tilde\psi_t(k) = e^{-i\frac{k^2}{2} t} \tilde \psi_0(k)$$

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El hecho de que$U$es en este caso dado por el operador de Fourier debe ser claro para cualquier persona con experiencia en el análisis de Fourier. Sin embargo, para un hamiltoniano general de Schrödinger$H:= -\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2} + V(x)$no es un problema tan trivial de resolver. El procedimiento correcto es postular que

$$\big(U\psi\big)(k) = \int_{\mathbb R} \psi(x) \phi_k(x) \mathrm dx$$ para algunos$\phi_k(x)$. El hecho de que$U$debería ser unitario implica a través de unas pocas líneas de álgebra que $$\int_{\mathbb R} \overline{\phi_k(x)} \phi_q(x) \mathrm dx = \delta(k-q) \qquad \int_{\mathbb R} \overline{\phi_k(x)} \phi_k(y) \mathrm dk = \delta(x-y) \quad (\star)$$ Una vez más definiendo$\widehat H = UHU^\dagger$(que, a través del ansatz, es un operador de multiplicación) y$\tilde \psi = U\psi$, entonces tenemos $$\big(\widehat H \tilde \psi\big)(k) = E(k) \tilde \psi(k) = \int_{\mathbb R} \big[-\frac{1}{2}\psi''(x) + V(x)\psi(x)\big]\phi_k(x)\mathrm dx$$

Esto debe ser válido para arbitrariamente$\psi\in\mathrm{dom}(H)$; la integración por partes nos dice que

$$-\frac{1}{2}\phi_k''(x) + V(x) \phi_k(x) = E(k) \phi_k(x)$$

Resolviendo esta ecuación diferencial sujeta a la$\delta$-condiciones de normalización y ortogonalidad$(\star)$proporciona la forma correcta para$\phi_k$, y por lo tanto$U$. En el caso de las partículas libres, encontramos que una opción perfectamente buena viene dada por$\phi_k(x) = e^{ikx}/\sqrt{2\pi}$con$k\in\mathbb R$. Sin embargo, de manera crucial, estos$\phi_k$'s no son elementos de$L^2(\mathbb R)$en general.

Este procedimiento se explica$^3$detalladamente en muchos lugares de la literatura de física. Sin embargo, la transformación unitaria$\psi(x) = \big(U^\dagger f\big)(x) = \int_{\mathbb R} f(k) \overline{\phi_k(x)} \mathrm dk$generalmente se describe como una expansión de$\psi(x)$en la base propia continua (generalizada)$\{\overline{\phi_k}\}$. Esto proporciona la intuición de cuál es el significado físico de la$\phi_k$deberían sostenerse, pero debe aclararse rápidamente que no constituyen estados físicos válidos para que el sistema los ocupe.$^\ddagger$.

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Para recapitular, los operadores autoadjuntos con espectros puramente continuos no tienen funciones propias. Sin embargo, son unitariamente equivalentes a los operadores de multiplicación y, de esta manera, pueden entenderse con bastante facilidad. Para encontrar la transformación unitaria correcta, nos encontramos resolviendo una ecuación diferencial que se parece a la ecuación de valores propios asociada al hamiltoniano excepto por el hecho de que (i) los valores propios forman un continuo en lugar de un conjunto discreto, y (ii) las "funciones propias"$\phi_k$no están obligados a vivir en$L^2(\mathbb R)$. A menudo llamamos a la$\phi_k$Estados propios generalizados o no normalizables .

Para completar, el enfoque de Gelfand se llama formalismo espacial de Hilbert amañado.$^4$en que estos$\phi_k$se entienden como (los núcleos de) distribuciones sobre un espacio adecuado de funciones de prueba; esta descripción requiere sustancialmente más maquinaria (espacios nucleares, teoría de la distribución, etc.) para hacerla técnicamente rigurosa. De esa manera, es algo similar al uso del sistema numérico hiperreal para formalizar los infinitesimales en el cálculo: más simple y algo más intuitivo en la superficie, pero no tan simple a nivel técnico.

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$^\ddagger$Hay varias formas de definir un estado cuántico, pero el requisito mínimo es que den lugar a una distribución de probabilidad para cualquier medida posible; es decir, deben proporcionar alguna forma de responder a la pregunta, "¿cuál es la probabilidad de que mida el observable (autoadjunto)$A$estar en el conjunto (medible por Borel)$E\subseteq \mathbb R$?" Una forma de definir tal distribución de probabilidad es a través de rayos en el espacio de Hilbert que subyace a la teoría, mientras que los operadores de clase traza positivos con traza unitaria proporcionan una forma más general ; para los matemáticos aún más ambiciosos, esto se puede generalizar aún más lejos . Sin embargo, queda claro con un poco de trabajo que los estados propios generalizados obtenidos aquí no entran en ninguna de estas categorías. Como ejemplo específico, una onda plana totalmente deslocalizada no proporciona una forma de responder "¿cuál es el probabilidad de medir la posición de la partícula para estar en el intervalo$E$?" que satisface las demandas que imponemos a las distribuciones de probabilidad.

Referencias:

[1] Hall, Teoría cuántica para matemáticos

[2] Para un completo tour de force en la teoría espectral y los fundamentos matemáticamente rigurosos de la mecánica cuántica, consulte Spectral Theory and Quantum Mechanics del propio Valter Moretti de PhysicsSE .

[3] Ver egp15 de Landau & Lifshitz, A Course in Theoretical Physics, vol. III: Mecánica Cuántica

[4] A. Bohm, M. Gadella, Dirac Kets, Gamow Vectores y Gel'fand Triplets , Sección IV

Hay una cuestión conceptual mucho más seria en esta pregunta y en el libro de Griffith que debe abordarse.

Esta es la afirmación de que las soluciones de función propia (espectro continuo) de una partícula libre no tienen interpretación física .

Desafortunadamente, esta afirmación (de Griffiths y en las otras respuestas) sobre el espectro continuo es un malentendido muy común, específicamente la afirmación de Griffith es que (ref. [2], Sec. 2.4)

Entonces, en el caso de la partícula libre, las soluciones separables no representan estados físicamente realizables. Una partícula libre no puede existir en estado estacionario; o, dicho de otro modo, no existe tal cosa como una partícula libre con un energía definida.

Más adelante, en su capítulo sobre la dispersión, esta creencia lo obliga a decir en una nota a pie de página sobre la solución general de la ecuación de Schrödinger:

Por el momento, no hay mucha mecánica cuántica en esto : de lo que realmente estamos hablando es de la dispersión de ondas, a diferencia de las partículas clásicas...

Esta es su forma de esquivar el hecho de que usó una sola onda plana para modelar una partícula libre entrante con un momento completamente bien definido y la hizo dispersarse por un centro de dispersión. Al llamarlas ondas planas y decir que es como si solo estuviéramos estudiando la dispersión de ondas, de alguna manera significa que se aplica a un problema de dispersión de una partícula cuántica pero no modela una partícula libre mediante una sola onda plana. Es completamente incoherente.

Tomado en serio, dado que sus declaraciones que establecen la solución general pueden justificarse a partir de la aproximación de Born a la solución integral de la ecuación de Schrödinger, extrañamente está tratando de decir que establecer la aproximación de Born a la solución general no involucra mucha mecánica cuántica, es todo solo saluda al hombre ... Por supuesto que él y nadie más realmente cree eso, pero debería hacer sonar las alarmas para cualquiera que piense mecánicamente cuánticamente.

Hay tantos problemas con esta creencia que voy a tener que dividir mi respuesta en tres secciones para señalar cuán problemático es esto.

A: contradecir la literatura

Como mínimo, estas afirmaciones contradicen completamente las afirmaciones que el mismo Born, el 'fundador' de la 'regla de Born', estaba haciendo cuando propuso la regla en el estudio de un problema de colisión de espectro continuo en [7]. Dice muy claramente que "no hay escapatoria de la conclusión" de que la partícula libre entrante que está dispersando de un átomo se describe por un "estado definido" a lo largo de una línea recta "que corresponde a una onda plana", y usa un plano entrante onda a lo largo de la$z$-eje para describir su "estado" (es decir, su función de onda). Uno puede descartarlo como viejo, está bien.

Más importante aún, también contradice completamente las afirmaciones del libro de texto absolutamente canónico de referencia [1], tomado extremadamente en serio incluso por los críticos [10], que se refiere explícitamente a las funciones propias de una partícula libre, por ejemplo, como la función de onda de la partícula ( [1], Sec. 17 o Sec. 34 por ejemplo). De manera similar, Dirac ([5], Sec. 30) usa literalmente una función propia de una sola partícula libre para ilustrar la "idoneidad" de los términos "función de onda" y "ecuación de onda". Otro autor de renombre que afirma explícitamente que una función propia de una sola partícula libre tiene un "significado físico" es Kramers en ([6, Sec. 22]).

Entonces, para creer esto, uno tiene que comenzar a creer que la mayoría de los fundadores de QM estaban equivocados sobre el problema más básico de QM, y afirmar que su interpretación física de la no normalización (que se indica a continuación) también es incorrecta.

Incluso si todos están equivocados acerca de un problema tan simple como la partícula libre, el hecho de que (algunos de los más) libros de texto canónicos afirmen que existe una interpretación física para algo tan simple y fundamental debería hacer que cualquiera que haga tales afirmaciones se detenga seriamente. Incluso reconocer que existe tal perspectiva alternativa debería ser al menos una prueba de fuego para saber si uno está obteniendo una expresión honesta de la situación.

Dado lo profundamente arraigada que está esta creencia, es útil citar un (buen) libro de texto ([8], Sec. 2.3) que honestamente señala la situación en la literatura de que es solo una de las dos opciones posibles decidir renunciar sobre el tratamiento serio de las funciones de onda de espectro continuo, pero no la única opción:

Hay dos formas de salir de esta dificultad. La primera es abandonar el concepto de probabilidades absolutas cuando se trata de funciones de onda como (2.13) o (2.16) que no son integrables al cuadrado. En cambio,$|\Psi(\mathbf{r}, t)|^2 d \mathbf{r}$se interpreta entonces como la probabilidad relativa de encontrar la partícula en el tiempo t en un elemento de volumen$d\mathbf{r}$centrado en$\mathbf{r}$, de modo que la relación$|\Psi(\mathbf{r}_1, t)|^2/|\Psi(\mathbf{r}_2, t)|^2$da la probabilidad de encontrar la partícula dentro de un elemento de volumen centrado alrededor$\mathbf{r} = \mathbf{r}_1$, en comparación con encontrarlo dentro del mismo elemento de volumen en$\mathbf{r} = \mathbf{r}_2$...

Esto es, por supuesto, lo que hacen Dirac, Landau, etc., que comúnmente se cree que es imposible. Después de darse cuenta de que esto significa que la posición de una partícula es completamente desconocida (una implicación básica del principio de incertidumbre), entonces dicen

Esto sugiere una segunda salida a la dificultad, que es renunciar al requisito de que la partícula libre debe tener un momento definido con precisión y superponer ondas planas correspondientes a diferentes momentos para formar un paquete de ondas localizado, que puede normalizarse a la unidad. .

Si bien la gente parece preferir este segundo enfoque, y hay buenas razones para hacerlo como una aproximación [de hecho, el uso de paquetes de ondas es en realidad una herramienta de aproximación clásica ([1], Sec. 6), por lo que la gente está por supuesto realmentesimplemente colarse en la intuición clásica más débil posible con esta aproximación], por supuesto, está negando / racionalizando una consecuencia completamente natural de la teoría debido a un sesgo para un caso más simple (espectro discreto) para trasladar ciegamente al caso más complicado . No hay diferencia entre esto y un sesgo para el caso discreto en la teoría clásica de probabilidad discreta versus continua. La interpretación de la distribución discreta de probabilidad clásica en un único (o conjunto discreto de) puntos en sí tampoco se traslada ciegamente a la distribución continua, pero no pretendemos simplemente que no tenga sentido (es decir, 'no física') allí.

Por lo tanto, no hay problema en tomar el segundo enfoque como una aproximación .

De hecho, Dirac ([5], Sec. 12) habla de esto: dice que aunque uno encuentra infinitos estados normales en el espectro continuo, se necesitaría una cantidad infinita de precisión para realizar experimentalmente un estado de espectro continuo exactamente, es decir, diciendo que aunque están ahí, en realidad no podemos alcanzar una precisión infinita, por lo que la norma infinita no debería preocuparnos demasiado. Luego sugiere que puede ser que solo los estados normativos finitos sean los que se pueden realizar experimentalmente (debido a que potencialmente no necesitan una precisión infinita). Pero él solo quiere decir esto con respecto a la realización experimental precisa de tales estados, no es que no estén allí como una necesidad fundamental de la teoría. Incluso dice que no podríamos prescindir de ellos,

En otras palabras (ahora mía, no de él), básicamente está diciendo que si crees que está bien descartar los infinitos estados normativos por no ser experimentalmente realizables, entonces también debes descartar toda la ciencia. La mecánica clásica, por ejemplo, dice que la posición y la velocidad de una partícula se pueden conocer simultáneamente en principio teóricamente (en contraste con la mecánica cuántica), la teoría no dice nada en absoluto, es solo una afirmación fundamental de toda la mecánica clásica que esto es posible en principio. Obviamente, experimentalmente esto no es posible con una precisión infinita, pero eso no significa que descartemos toda la física clásica.

Más importante aún, Dirac en realidad continúa dando una interpretación física a los estados de norma infinitos más adelante (ver más abajo), por lo que probablemente se le podría perdonar por pensar que es imposible malinterpretar la discusión anterior que Dirac da cuando dice que deberíamos descartar infinito estados de la norma.

En una nota al pie de la discusión original de von Neumann ([9], Sec. II.8, a veces considerado el creador de lo que comúnmente se dice que es el enfoque riguroso ) discusión de una partícula libre, dice que la función de onda

...no pertenece a$\mathbb{R}_{\infty}$por lo ilimitado de la integral del cuadrado de su valor absoluto. Desde nuestro punto de vista, ... lo que no pertenece a$\mathbb{R}_{\infty}$para nosotros no existe.

y en una nota a pie de página anexa a esta añade:

Por supuesto, solo el éxito en la aplicación física puede justificar este punto de vista o su uso en mecánica cuántica.

Por lo tanto, incluso von Neumann era consciente de que este enfoque corría el riesgo de ser simplemente incorrecto. Si uno quiere afirmar que este enfoque es el enfoque correcto en un nivel fundamental, algo que puede ver en las citas anteriores ni siquiera está acordado en la literatura, no solo deben ignorar las interpretaciones físicas anteriores dadas anteriormente por Dirac, Landau etc... pero también tiene que responder convincentemente a todos los gigantescos problemas conceptuales con este enfoque mencionado en la siguiente sección (por supuesto, hay más).

Entonces, si bien está bien usar paquetes de ondas (o diferenciales propios, etc.) como una aproximación, en términos de la naturaleza absolutamente fundamental de la mecánica cuántica como teoría : simplemente hay problemas lógicos gigantes con tomar este segundo enfoque demasiado en serio (que es exactamente lo que se está haciendo), es tan absurdo como pretender que la mecánica clásica teóricamente solo nos dice que la posición/velocidad de una partícula existe simultáneamente solo hasta la precisión de una medida dada en lugar de existir teóricamente en algún lugar en principio. Pero la teoría internamente no debería tener sentido a veces si tomamos este enfoque si este es el caso. Veamos esto a continuación:

B: Contradicciones teóricas

Veamos los problemas lógicos de decir que las funciones propias del espectro continuo no son físicas.

Esta afirmación de que una función propia de espectro continuo no es física implicaría, p. espectro (en el espectro discreto) y funciones propias no físicas en el resto (el espectro continuo). Es incluso más absurdo que sumar fermiones y bosones, en este caso es sumar 'físico' y 'no físico'. Por lo tanto, los "estados de dispersión" individuales en la expansión general de la función de onda del átomo de hidrógeno son, por alguna razón, "no físicos", aunque un término de estado ligado del espectro discreto en exactamente la misma expansión es físico.

Otro ejemplo extremadamente importante es la Regla de Oro de Fermi aplicada al espectro continuo, por ejemplo, la dispersión cuántica, que es un problema de espectro continuo. Es precisamente porque las funciones de onda iniciales están en el espectro continuo que la ingenua 'probabilidad de transición'$dw$en la regla de oro de Fermi no tiene las dimensiones correctas de probabilidad por unidad de tiempo, la 'probabilidad de transición' ahora tiene dimensiones que dependen de ([1], Sec. 43) la normalización de la normalización inicial de la función de onda del espectro continuo ( que haría no tenía sentido si creyéramos que ni siquiera se podían normalizar...). Si las funciones de onda del espectro continuo inicial se normalizan como 'una partícula por volumen$V$', esta es una explicación clara de por qué tenemos que tomar la 'probabilidad de transición' en QFT y convertirla en una 'tasa de caída' o una 'sección transversal' para obtener resultados medibles.

Peor aún, en QFT, el uso de funciones propias de partículas libres individuales como las funciones de onda de las partículas libres en un proceso de dispersión es absolutamente esencial, y sus propiedades de normalización de espectro continuo son vitales al resolver cualquier problema de dispersión qft . Uno tiene que creer que cualquier problema de qft en el que la partícula libre entrante tenga un momento (teóricamente) conocido con precisión, de modo que se describa mediante un estado estacionario de una sola partícula libre, es (teóricamente) no físico, como si eso tuviera algún sentido.

Estos hechos no desaparecen simplemente porque uno usa la segunda cuantización y los campos cuánticos, la segunda cuantización se puede 'definir' en primer lugar a partir del uso de funciones propias para un sistema de partículas idénticas, ver por ejemplo ([1] cap. IX) .

Además, en QFT uno comúnmente toma una normalización de caja sobre un dominio finito [por lo que las funciones propias de 'partícula libre' ahora son funciones de onda de espectro discretas, y podemos normalizar a 'una partícula por volumen$V$' con poca reflexión, aunque también podemos hacer esto en el espectro continuo (ver [1], Sec. 15 y 48)] para que podamos hacer las cosas más fáciles, pero todavía estamos tomando un límite al final del cálculo , de repente no se vuelven no físicos en ese límite. En otras palabras, el problema de normalización de la regla de oro de Fermi mencionado anteriormente siempre está presente en un problema de dispersión QFT, ya sea que lo hagamos al final o al principio.

En otras palabras, uno realmente tiene que creer que, por ejemplo, el$\frac{1}{\sqrt{2 E_{\mathbf{p}}}}$los factores de normalización en Klein-Gordon, etc. son solo trucos matemáticos convenientes que funcionan mágicamente, y simplemente ignoran por qué las funciones propias de ondas planas de 'partículas libres' individuales con un espectro continuo incluso tienen tales factores de normalización, como si todo esto fuera solo un feliz accidente. Una forma común de ignorar todo el razonamiento físico aquí es pretender que agregamos los factores de normalización a las 'funciones de onda' no normalizables que son 'no físicas' porque solo queremos un elemento de volumen relativistamente invariable, pero equivale a una elección específica de factores de normalización desde la perspectiva anterior, y ni siquiera se hace tan comúnmente porque hace que configurar las tasas de decaimiento (espectro continuo), las secciones transversales, etc... sea menos intuitivo que el de "una partícula por volumen".$V$' enfoque de normalización.

Incluso en un problema de dispersión no relativista , uno ahora tiene que creer: a) una partícula libre con momentos conocidos con precisión (así descritos por una solución de onda plana individual) se vuelve no física; b) la resolución de una onda plana no física en momentos angulares de esa onda plana, eso es absolutamente vital en la dispersión cuando tomamos, por ejemplo, una sola partícula libre entrante$e^{ikz}$en los problemas habituales de dispersión, todo es simplemente no físico; c) en cambio, los argumentos que se basan en el pensamiento clásico sobre la dispersión de ondas clásicas tienen que reemplazar el pensamiento mecánico cuántico real; d) cualquier problema conceptual puede simplemente racionalizarse como 'matemáticas'. Este es solo el comienzo del llamado enfoque riguroso .

Otro aspecto muy básico de QM que falla por completo si las funciones propias del espectro continuo individual de partículas libres no relativistas no son funciones de onda es la existencia de un 'espectro discreto' para el$E < 0$estados estacionarios de una partícula en un potencial$U$que se desvanece en el infinito. Esbozando la prueba en [1], si un solo estado estacionario individual en tal potencial se va al infinito, no hay absolutamente nada que les impida alcanzar el infinito en principio en general, de hecho, el potencial que desaparece a medida que uno va al infinito puede hacerlo es más probable que la partícula llegue al infinito cuanto más se aleje. Pero, ¿por qué no alcanzan el infinito y se quedan en una región finita (de modo que el espectro resulta discreto a pesar de la posibilidad de desviarse al infinito)? Es precisamente por el hecho de que si dicho estado estacionario se fuera al infinito, entonces se reduciría al estado estacionario de una sola partícula libre, pero cuando la energía de una sola partícula libre se puede conocer con precisión, significa que es así.$E = \mathbf{p}^2/2m$. Pero esto siempre es positivo/no negativo, pero estábamos asumiendo que$E < 0$sostuvo. Por lo tanto, obtenemos una contradicción inevitable a menos que la partícula sea un límite y, por lo tanto, la función de onda simplemente nunca se reduce a la de una partícula libre ([1], Sec. 18), o sin sentido cuando el estado estacionario único, con su valor propio de energía única , se reduce al caso de una partícula libre cuando el potencial llega a cero, la física simplemente se detiene y el estado estacionario ilógicamente deja de aplicarse al sistema, o en el mejor de los casos mágicamente de repente se convierte en una integral de estados estacionarios de partículas libres a pesar de que trabajábamos con un solo estado estacionario cuyo valor propio se conocía con precisión por suposición, por alguna razón no explicada.

De hecho, si no aceptamos que las funciones de onda de espectro continuo son en realidad funciones de onda, entonces la mecánica cuántica ni siquiera existe en el caso de espectro continuo, por lo tanto, la dispersión, etc., desaparece, ya que la función de onda de un sistema no existe. incluso existen en principio . Como se explica en mi respuesta aquí , que de nuevo es solo un resumen de la interpretación canónica del proceso de medición de QM como se describe en [1], en principio es imposibleincluso determinar la función de onda de un sistema físico a menos que la expansión abstracta de Fourier del 'aparato de medición + sistema cuántico' combinado "colapse" en una sola función propia individual, debido a la naturaleza clásica del aparato de medición. Si el dispositivo de medición está en el espectro continuo, esto significa que la función de onda inevitablemente 'colapsa' hasta convertirse en una sola función propia de espectro continuo. En realidad, el 'colapso' nunca ocurre, la función de onda fue ese único término de Fourier todo el tiempo, es decir, la función de onda total después de una medición involucra dos términos, uno solofunción propia del aparato de medición de espectro continuo, y un segundo término en el producto relacionado con la función de onda del sistema que midió después de la medición. Si aceptamos la creencia de que las funciones propias de espectro continuo no son funciones de onda, entonces tenemos que creer que un aparato de medición clásico (cuando un valor propio medido se conoce con total certeza, lo que teóricamente es posible, de lo contrario, incluso la función de onda de un sistema en principio ni siquiera se puede saber y no tenemos una teoría) se describe con precisión mediante una 'función de onda' que no es una 'función de onda', simplemente no tiene ningún sentido.

En un nivel aún más primitivo, la razón por la que las funciones propias individuales tienen que ser las funciones de onda potenciales de un sistema físico potencial es que, partiendo del concepto fundamental del ' principio de superposición ', ni siquiera podemos definir la 'onda total'. función' de un sistema (combinación lineal de los estados estacionarios) a menos que el sistema se describa mediante funciones propias individuales que representan un estado físico posible. Las cosas que sumamos para obtener la función de onda total del sistema en principiotienen que ser funciones de onda potenciales para un posible estado de ese sistema, de lo contrario, ni siquiera se les permite entrar en la suma. Simplemente no tiene ningún sentido si las funciones propias son 'no físicas': no ​​hay nada que 'sumar' a través del principio de superposición para siquiera comenzar a construir la función de onda total de un sistema de un espectro continuo en primer lugar.

Para hacer este punto nuevamente: lea ([1], Sec. 2 y 5) y luego dígame por qué se nos permite tener un espectro continuo en cualquier parte de la física si las 'funciones propias' no representan realmente un posible estado físico del sistema: es precisamente porque cada función propia es un estado potencial del sistema que podemos usar el principio de superposición para sumarlos y obtener la función de onda total. Simplemente contradice el principio de superposición (como se describe en [1]) decir que ($\hbar = 1$) soluciones de funciones propias$e^{i (\mathbf{p} \cdot \mathbf{r} - Et)}$de la ecuación de Schrödinger de partículas libres no son físicas.

En otras palabras, es precisamente debido a la regla de Born y al principio de superposición que las funciones de onda del espectro continuo deben normalizarse con las funciones delta y deben interpretarse como "funciones de onda físicas" de un sistema potencial. Si no pudiéramos hacer esto, entonces incluso la función de onda de un sistema ni siquiera existe porque cuando algún aparato de medición tiene un espectro continuo, la única forma en que podemos arreglar la función de onda de un sistema después de una medición es invocando el hecho de que un soloEstado propio de ese dispositivo de medición de espectro continuo (cuasi-clásico) La función de onda describe el estado del dispositivo de medición después de la medición. Ese último punto es precisamente cómo sabemos que el sistema después de una medición tiene una nueva función de onda y que es diferente al que tenía antes de la medición. De lo contrario, tendríamos que decir de manera incoherente que la función de onda que describe el aparato de medición "colapsa" en una función propia "no física" que describe el sistema pero tampoco lo describe y mágicamente podemos inferir de la nada que el el sistema que medimos también obtiene una nueva función de onda diferente a la anterior a la medición, es simplemente absurdo.

C: Contradiciendo la Interpretación Física Bien Conocida

Ahora permítanme señalar la interpretación física de las funciones propias de partículas libres no normalizables.

Esto se da en la referencia ([1] Sec. 10), por ejemplo: la no normalizabilidad de una función propia de una partícula libre solo corresponde y depende vitalmente del hecho de que en un dominio ilimitado el sistema puede pasar tiempo en 'infinito' , es decir, puede ocurrir un 'movimiento infinito', algo que obviamente no puede ocurrir en un dominio acotado, y la no normalización es una necesidad absoluta para poder dar esta interpretación física.

Esbozando el argumento en [1]: La integral$\int dq |\Psi(q)|^2$diverge para un estado estacionario porque$|\Psi(q)|^2$(en este caso) no se vuelve cero en el infinito. En otras palabras, la densidad de probabilidad en un punto en el infinito no se vuelve cero, por lo que la partícula representada por ese estado estacionario podría encontrarse potencialmente en este punto en el infinito si la interpretación de la probabilidad tiene sentido. Si ahora asumimos la posición$q$es conocido, o más bien conocido en promedio, ahora deberíamos permitir que el valor propio asociado a esa ubicación no sea conocido, y así deberíamos tomar una combinación lineal de estados estacionarios en el espectro continuo en ese punto,$\Psi(q) = \int dE a_E e^{-iE t} \psi_E(q)$. Podemos interpretar las funciones propias del espectro continuo en este punto en promedio (con respecto al tiempo) elevando al cuadrado$|\Psi(q)|^2 = \int dE dE' a_E a_{E'}^* e^{-it(E - E')} \psi_E(q) \psi_{E'}^*(q)$y luego promediando en el tiempo. Debido a que implica una función delta de Dirac en el caso del espectro continuo, el promedio de tiempo irá a cero (en el caso del espectro discreto, en cambio, permanece finito). Así, el promedio temporal de la densidad de probabilidad en cualquier punto es cero sólo en el caso del espectro continuo, es decir, la densidad de probabilidad promedio para encontrar una partícula en cualquier punto es cero. Esto solo tiene sentido si la partícula existe en un dominio infinito.

Pero que es esto? ¿Una interpretación física de las funciones propias no normalizables que se debe directamente a la no normalizabilidad? Se supone que esto es imposible...

En otras palabras, solo porque una partícula pueda pasar tiempo en el infinito en un dominio infinito, no cambia nada sobre el hecho de que las funciones de onda de la mecánica cuántica aún deberían poder describir el hecho de que pueden hacer esto, es decir, que un libre partícula en un dominio ilimitado se puede encontrar en el infinito. Afirmar que QM no puede describir esto es limitar artificialmente lo que QM puede hacer debido al propio sesgo de uno para los espectros de probabilidad discretos e ignorar la lección de la diferencia entre la teoría de distribución de probabilidad 'clásica' discreta versus continua que el último caso debe ser tratados con cuidado en lugar de simplemente ser desechados.

En realidad, uno tiene que negar el Principio de Incertidumbre de Heisenberg para decir lo contrario. Recuerde que el HUP nos dice que si conocemos el momento con precisión, la posición es completamente desconocida, en otras palabras, no hay ninguna razón por la que la partícula libre no pueda ubicarse 'en el infinito'.

En realidad, uno tiene que afirmar que la mecánica cuántica no está equipada para poder decir que una partícula libre con momentos conocidos con precisión se puede encontrar potencialmente en el infinito usando una función de onda, aunque es exactamente lo que HUP nos dice que debería suceder.

De hecho, incluso Dirac ([5], Sec. 48) también da muy claramente esta interpretación física, después de argumentar en una oración el argumento del promedio de tiempo anterior de que una partícula en un dominio ilimitado "gasta casi todo su tiempo en el infinito" y luego muestra cuán esencial es que la norma diverja en este orden de casos para que la interpretación de la probabilidad relativa tenga sentido, de acuerdo con los argumentos en ([1], Sec. 2 y 10) y la cita de [8] mencionada anteriormente.

D: Otros comentarios

El hecho de que la gente malinterprete esto no es tan diferente al hecho de que la teoría de distribución de probabilidad discreta es ligeramente diferente a la teoría de distribución de probabilidad continua, y esta última tarda más de un siglo en axiomatizar completamente sus principios básicos, la intuición simplemente se pierde al ir a en el segundo, la misma pérdida de intuición está ocurriendo claramente en el caso cuántico. Para la distribución de probabilidad continua clásica, la probabilidad de un solo valor es cero. Esto no significa que un solo resultado en un experimento de probabilidad clásico no sea 'real/físico'.

Simplemente no es sorprendente que en la mecánica cuántica el uso ingenuo de la regla de Born también se 'descomponga' para un conjunto único/discreto de valores propios cuando existe un espectro continuo y debemos ser más cuidadosos solo en este caso. Eso de ninguna manera significa que debamos negar el hecho completamente obvio de que algo tan simple como una partícula libre individual cuya energía puede en principio ser conocida con precisión (y por lo tanto, la posición no puede) existe y tiene que ser descriptible por la mecánica cuántica.

En un nivel matemático, la creencia parece ser que los 'espacios de Hilbert amañados' son el ámbito natural donde las 'funciones de onda de espectro continuo' pueden legítimamente llamarse funciones de onda [3], porque estos son los espacios donde las funciones delta pueden tratarse adecuadamente. Si es realmente el caso de que este es el espacio correcto donde uno puede usar las interpretaciones físicas obvias esbozadas anteriormente es otra pregunta, no estoy seguro. Por ejemplo [4] dice de un espacio de Hilbert amañado:

"Permite acomodar vectores de norma infinita dentro del formalismo y elimina la vaguedad que a menudo rodea la pregunta de si los operadores que representan observables poseen un conjunto completo de vectores propios (del prefacio);

Estos dos ejemplos son suficientes para mostrar que el espacio de Hilbert amañado parece ser un escenario matemático más natural para la mecánica cuántica que el espacio de Hilbert (p. 29)".

Finalmente: si reconocemos que las funciones propias obvias de las partículas libres son físicas, significa que tenemos que reconocer que una devoción a los 'espacios de Hilbert separables' en realidad niega las propiedades físicas de sistemas como que una partícula libre con momentos conocidos con precisión obviamente podría encontrarse (' pasar tiempo en') en el infinito (como se describe arriba). La devoción por los espacios separables de Hilbert se utilizó como objeción a la gravedad cuántica de bucles.. Claramente, al menos desde la perspectiva anterior compartida por Dirac, Landau, etc., este es solo un argumento muy defectuoso / malo contra la gravedad cuántica de bucles que, al estar equivocado, en realidad solo permite a los defensores pintarlo todo como equivocado. De hecho, el argumento de la "comprobabilidad del espectro de áreas discretas" es tan malo como, por ejemplo, descartar la mecánica clásica por no tener una precisión infinita como se mencionó anteriormente, es el tipo de argumento débil que se usa para negar las predicciones físicas sobre partículas libres dadas anteriormente y simplemente no aborda la teoría según los estándares de juzgar otras teorías. Esto, por ejemplo, parece un argumento mucho más fuerte en su contra que aborda su propia lógica interna.

Referencias:

1. Landau y Lifshitz, "Mecánica Cuántica", 3ª Ed.;
2. Griffiths, "Introducción a la mecánica cuántica", 2ª ed.
3. nlab: " espacio de Hilbert amañado ".
4. Ballentine, "Mecánica cuántica, un desarrollo moderno", 1ª ed.
5. Dirac, "Principios de la mecánica cuántica", 4ª ed.
6. Kramers, "Mecánica Cuántica", 1ª Ed.
7. Nacido, "Sobre la mecánica cuántica de las colisiones" (1926), traducción JAW, WHZ (1981).
8. Bransden y Joachain, "Mecánica cuántica", 2ª ed.
9. von Neumann, "Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica", 1ª ed.
10. Bell, " Contra la medida ", 1990 Phys. Mundo 3 (8) 33.