El espacio de Hilbert en la representación de Dirac

He estado leyendo algunas publicaciones antiguas aquí sobre el intercambio de pilas de física y me di cuenta de algo que nunca antes me había ocurrido.

Dejar$\mathscr{H}$ser un espacio de Hilbert sobre$\mathbb{C}$. Un sistema ortonormal es una familia.$\{e_{\alpha}\}_{\alpha \in I}$de$\mathscr{H}$tal que$\langle e_\alpha, e_{\beta}\rangle =0$si$\alpha \neq \beta$y$\langle e_{\alpha},e_{\alpha}\rangle \equiv ||e_{\alpha}||^{2} = 1$. Para simplificar, fijemos$I = \mathbb{N}$por lo que nuestro sistema ortonormal es contablemente infinito. La suma:

$$\begin{eqnarray} \sum_{n\in \mathbb{N}}\alpha_{k}e_{k} \quad \mbox{$\alpha_{n}\in \mathbb{C}$, for every $n\in \mathbb{N}$} \tag{1}\label{1} \end{eqnarray}$$ converge en$\mathscr{H}$si y solo si: $$\begin{eqnarray} \sum_{n\in \mathbb{N}}|\alpha_{n}|^{2} <+\infty \tag{2}\label{2} \end{eqnarray}$$ En este caso, si$x= \sum_{n\in \mathbb{N}}\alpha_{n}e_{n}$, se puede demostrar que los coeficientes$\alpha_{n}$son dados por$\alpha_{n}=\langle e_{n},x\rangle$, de modo que: $$\begin{eqnarray} x = \sum_{n\in \mathbb{N}}\langle e_{n},x\rangle e_{n}\tag{3}\label{3} \end{eqnarray}$$ Si, además,$\{e_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$es un sistema ortonormal completo , lo que significa que ningún otro sistema ortonormal contiene$\{e_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$como un subconjunto propio, cada $x\in \mathscr{H}$se puede escribir como en ( $\ref{3}$).

Ahora, vayamos a la mecánica cuántica en la notación de Dirac. Por lo general, se considera un espacio de Hilbert$\mathscr{H}$y elementos sus elementos$|\psi\rangle$. Suponer$|x\rangle$es una función propia del operador de posición$\hat{x}$.

$$\begin{eqnarray} |\psi\rangle = \int dx \psi(x) |x\rangle \tag{4}\label{4} \end{eqnarray}$$ Esta es una analogía con lo que se hace en ( $\ref{3}$), donde, esta vez, los coeficientes vienen dados por: $$\langle x| \psi \rangle = \psi(x)$$ A medida que gira nuestro,$\psi(x)$es el componente de un estado$|\psi\rangle$en el espacio de Hilbert$\mathscr{H}$, pero es precisamente lo que se suele utilizar cuando se trata de mecánica cuántica ondulatoria, es decir$\psi(x)$es exactamente lo que se obtiene al resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo: $$\bigg{[}-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2} + V(x)\bigg{]}\psi(x) = E\psi(x)$$

Ahora, aquí está mi pregunta.

Cuando se trata de un tratamiento riguroso de la mecánica cuántica, generalmente se establece como punto de partida el espacio de Hilbert$L^{2}(\mathbb{R}^{d})$(al menos para el tratamiento habitual de los problemas de los libros de texto). Pero este parece ser el espacio de Hilbert apropiado para los coeficientes $\psi(x)$, no el espacio abstracto original de Hilbert de vectores$|\psi\rangle$. Usando la analogía anterior, la expresión ($\ref{3}$) nos dice que si$x \in \mathscr{H}$entonces los coeficientes$\alpha_{k}$son elementos de$\ell^{2}(\mathbb{N})$. Entonces, ¿es correcto mi análisis? En otras palabras, ¿es el espacio de Hilbert$\mathscr{H}$de vectores de Dirac$|\psi\rangle$un espacio de Hilbert abstracto, y el uso de la base propia de posición exigen las funciones de onda (coeficientes$\psi(x)$) para ser elementos de otro espacio de Hilbert$L^{2}(\mathbb{R}^{d})$?

EDITAR: Se me acaba de ocurrir que, en el ejemplo citado, el espacio de estados de Hilbert$|\psi\rangle$también debería ser$L^{2}(\mathbb{R})$para dar sentido al operador$\hat{x}$como operador de multiplicación. De todos modos, la moraleja permanece: el uso de$L^{2}(\mathbb{R})$como el espacio de funciones de onda$\psi(x)$es independiente del espacio de estados de Hilbert$|\psi\rangle$?