Pregunta relacionada con la prueba de: Para que las soluciones variables separables de la ecuación de Schrödinger sean normalizables, la constante de separación debe ser real

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Pregunta relacionada con la prueba de: Para que las soluciones variables separables de la ecuación de Schrödinger sean normalizables, la constante de separación debe ser real

AB

Necesito probar: para que las soluciones variables separables de la ecuación de Schrödinger sean normalizables, la constante de separación debe ser real.

Esto se puede demostrar de la siguiente manera:

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{\infty} | Ψ (X, t) |^{2} d X & = \int_{- \infty}^{\infty} | ψ (X) ϕ (t) |^{2} d X \\ = \int_{- \infty}^{\infty} | ψ (X) {mi}^{- i k t / ℏ} |^{2} d X \\ = \int_{- \infty}^{\infty} | ψ (X) {mi}^{- i (k_{R} + i k_{I}) t / ℏ} |^{2} d X \\ = {mi}^{2 k_{I} t / ℏ} \int_{- \infty}^{\infty} | ψ (X) |^{2} d X \end{aligned}

$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty |\Psi(x,t)|^2 dx & = \int_{-\infty}^\infty |\psi(x)\phi(t)|^2 dx\\ & = \int_{-\infty}^\infty |\psi(x)e^{-ikt/\hbar}|^2 dx\\ & = \int_{-\infty}^\infty |\psi(x)e^{-i(k_R + ik_I)t/\hbar}|^2 dx\\ & = e^{2k_It/\hbar}\int_{-\infty}^\infty |\psi(x)|^2 dx\\ \end{align}$ El segundo factor (integral) es independiente de

t

$t$ y, por lo tanto, para que el producto sea una constante finita distinta de cero, el primer factor también debe ser independiente del tiempo, lo cual es posible si y sólo si

k_{I} = 0

$k_I = 0$ (es decir, si y si

k \in R

$k \in \mathbb{R}$ ). (QED)

(Aquí $k = k_R + i k_I$ (dónde $k_R$ y $k_I$ son números reales) es la constante de separación y exp(constante de integración) de $\phi(t)$ ha sido absorbido en $\psi(x)$ . Además, tenga en cuenta que estoy usando $k$ en lugar de $E$ para denotar la constante de separación.)

PERO no he tenido éxito al tratar de probar lo mismo usando la Ecuación 1.26, Sección 1.4, Introducción a la Mecánica Cuántica (2da Ed) (por David Griffiths). La ecuación a la que me refiero es:

$\frac{d}{dt} \int_{-\infty}^\infty |\Psi(x,t)|^2 dx = \frac{i\hbar}{2m}(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial x})|_{-\infty}^{\infty}$ (si la función de energía potencial es real)

si reemplazo $\Psi(x,t)$ por $\psi(x)\phi(t)$ en la ecuación anterior, obtengo:

$\frac{d}{dt} \int_{-\infty}^\infty |\Psi(x,t)|^2 dx = \frac{i\hbar}{2m} |\phi(t)|^2 (\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}-\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial x})|_{-\infty}^{\infty} = \frac{i\hbar}{2m} e^{2k_It/\hbar} (\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}-\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial x})|_{-\infty}^{\infty}$

Ahora, no debería $\psi$ ir a cero como $x$ va a $\pm\infty$ , para que la función de onda sea normalizable? (Griffiths dice, justo debajo de la ecuación 1.26, que "... $\Psi(x,t)$ debe ir a cero como $x$ va a $\pm\infty$ - de lo contrario, la función de onda no sería normalizable". Aquí, ¿no significaría esto que $\psi(x)$ debe ir a cero como $x$ va a $\pm\infty$ ?) Si llega a cero, entonces el RHS sería cero independientemente de si $|\phi(t)|^2$ es una constante o no, es decir, independientemente de que la constante de separación sea real o no.

¿Me estoy perdiendo de algo?

¿Sería posible que $\psi(x)$ no llega a cero cuando $x$ va a $\pm\infty$ para $k \in \mathbb{C \setminus R}$ ?

AB

@ZeroTheHero La parte a la que te refieres es probablemente la que tiene

k_{I}

$k_I$ . El exponente es un número real. Ya he quitado la parte imaginaria.

AB

@ZeroTheHero. Por favor, compruébalo de nuevo. He añadido la aclaración.

baponkar

| e x p (- i k t) |^{2} = 1

$|exp(-ikt)|^2=1$ . O "k" es real o imaginario.

AB

@baponkar estoy asumiendo que

k

$k$ es un número complejo general

k_{R} + i k_{I}

$k_R+ik_I$ dónde

k_{R}

$k_R$ y

k_{I}

$k_I$ Son reales. Entonces,

- i k = - i (k_{R} + i k_{I}) = - i k_{R} + k_{I}

$-ik = -i(k_R+ik_I) = -ik_R+k_I$ .

baponkar

e x p (- i k t) = e x p (- i k_{R} t) . e x p (k_{I} t)

$exp(-ikt)=exp(-ik_R t).exp(k_I t)$ ;

e x p (i k t) = e x p (i k_{R} t) . e x p (- k_{I} t)

$exp(ikt)=exp(ik_R t).exp(-k_I t)$ .así que |exp(-ik t)|^2=1.solo álgebra

Sean E. Lago

@baponkar lo estás haciendo mal. Para el conjugado complejo necesitas voltear los signos de ambos

i

$i$ s, entonces para complejo

k

$k$ ,

| \exp (- i k t) |^{2} = \exp (2 k_{I} t)

$|\exp(-ikt)|^2 = \exp(2k_It)$ .

baponkar

[e x p (- i k)]^{*} = e x p (i k^{*})

$[exp(-ik)]^* = exp(ik^*)$ ; dónde

k^{*} = k_{R} - i k_{I}

$k^*=k_R-i k_I$ !

Sean E. Lago

@baponkar Muy bien.

i k^{*} = i k_{R} + i (- i k_{I}) = i k_{R} + k_{I}

$ik^* = ik_R + i (-ik_I) = ik_R + k_I$ . :)

Respuestas (1)

Pregunta relacionada con la prueba de: Para que las soluciones variables separables de la ecuación de Schrödinger sean normalizables, la constante de separación debe ser real

@ZeroTheHero La parte a la que te refieres es probablemente la que tiene $k_I$ . El exponente es un número real. Ya he quitado la parte imaginaria.
@ZeroTheHero. Por favor, compruébalo de nuevo. He añadido la aclaración.
@baponkar estoy asumiendo que $k$ es un número complejo general $k_R+ik_I$ dónde $k_R$ y $k_I$ Son reales. Entonces, $-ik = -i(k_R+ik_I) = -ik_R+k_I$ .
$exp(-ikt)=exp(-ik_R t).exp(k_I t)$ ; $exp(ikt)=exp(ik_R t).exp(-k_I t)$ .así que |exp(-ik t)|^2=1.solo álgebra
@baponkar lo estás haciendo mal. Para el conjugado complejo necesitas voltear los signos de ambos $i$ s, entonces para complejo $k$ , $|\exp(-ikt)|^2 = \exp(2k_It)$ .
@baponkar Muy bien. $ik^* = ik_R + i (-ik_I) = ik_R + k_I$ . :)

Sean E. Lago · Answer 1

Lo complicado es que lo que su última ecuación realmente está demostrando es que la condición suficiente para que la normalización sea constante es que la corriente de probabilidad neta a través de los límites (en $\pm\infty$ ) sea cero.

Ahora, estrictamente hablando, incluso si $k_I\neq0$ la función de onda aún es normalizable: hacer la normalización simplemente cancelará el factor de $\exp(k_It)$ , eliminándolo de su función de onda. Digamos que su función de onda original no normalizada es $\Psi$ definir

\begin{matrix} (1) & Ψ_{norte} = \frac{Ψ}{\sqrt{\int | Ψ |^{2} d X}} \end{matrix}

$\Psi_N = \frac{\Psi}{\sqrt{\int |\Psi|^2 \, \mathrm{d}x}} \tag1$ y verlo desaparecer.

Sin embargo, eso es solo un detalle de terminología. El verdadero problema no es ese $\Psi$ no es normalizable, es que falla una condición de contorno no declarada: $\Psi$ tiene que ser finito para $t\rightarrow \pm \infty$ . Esa condición de contorno es menos estricta que exigir que $\Psi$ ser normalizado (nota: no normalizable, normalizado) pero es suficiente para hacer el trabajo.

Hay, por supuesto, otra ruta que puede tomar. Puedes concentrarte en el $x$ ecuación en lugar de $t$ uno:

\begin{matrix} (2) & - \frac{ℏ^{2}}{2 metro} ψ^{″} + V (X) ψ = k ψ . \end{matrix}

$-\frac{\hbar^2}{2m} \psi'' + V(x)\psi = k \psi. \tag2$ Tome el complejo conjugado de (2) y llámelo (3). Multiplica (2) por

ψ^{*}

$\psi^*$ y (3) por

ψ

$\psi$ luego integre ambos lados sobre todo

x

$x$ . Ahora reste los pares de ecuaciones y manipule las integrales usando la integración por partes para dejar solo términos superficiales (es decir, algo de la forma

[\dots]_{x = - \infty}^{\infty}

$[\ldots]_{x=-\infty}^\infty$ ). El lado derecho será

(k - k^{*}) \int | ψ |^{2} d x

$(k - k^*) \int |\psi|^2 \, \mathrm{d}x$ . La normalizabilidad requiere que desaparezca el lado izquierdo de la ecuación. El lado derecho sólo puede desaparecer si

k = k^{*}

$k=k^*$ , qed

Esta última versión es un ejemplo de cómo probar que los valores propios de un operador hermitiano son reales.

Gracias por responder mi pregunta. Puedo hacerle otra pregunta: ¿cómo se define exactamente la normalizabilidad? (¿Y qué es exactamente una función de onda normalizable?) Además, esto está realmente relacionado con un problema en Introducción a la mecánica cuántica (2.ª edición) (por David Griffiths): el problema 2.1 le pide al lector que demuestre que "Para soluciones normalizables, la constante de separación debe ser real".
@AB Aplicar la ecuación (1) se llama normalizar una función de onda. Entonces, una función de onda normalizable es aquella a la que podemos aplicar (1) sin ningún problema de división por cero de infinito. La palabra 'normalizable' significa literalmente, "Capaz de ser normalizado". Sospecho que Griffiths solo está siendo descuidado con su uso.
1) ¿Sería más apropiado decir "... la condición suficiente para la probabilidad de que la partícula exista (o la probabilidad de encontrar la partícula entre $x \to -\infty$ y $x \to +\infty$ ) sea constante es que la corriente de probabilidad neta a través de los límites sea cero". Además, ¿no es necesaria también esta condición? Y 2) ¿Por qué es ' $\Psi$ tiene que ser finito para $t \to \pm \infty$ ¿una condición de contorno? ¿Qué restricción física transmite? ¿Está relacionado con asegurar la finitud de $|\Psi|^2$ para todos $x$ y $t$ ?
Y 3) ¿Puedo decir "La constante de separación debe ser real para que $\Psi$ satisface la condición de contorno de que ' $\Psi$ tiene que ser finito para $t \to \pm \infty$ ' o para que $\Psi$ es normalizable para todos los valores de $t$ (como $\Psi_N$ toma la forma de $\infty/\infty$ y $0/0$ para $t \to \pm \infty$ (o en el otro orden, dependiendo de si $k_I$ es positivo o negativo))"
@AB "¿Puedo decir..." Puede decir cualquier cosa, pero querrá discutir con su TA y/o profesor qué aceptarán. 1) Ten cuidado, ahí. IIRC, la lógica completa es que para $H$ para ser hermitiano, el flujo de probabilidad en los límites tiene que desaparecer, y $H$ ser hermético implica la constante real. Si cumple esa condición y $H$ no es hermitiano, no hay dados.
@ AB 2) $|\Psi|^2$ no tiene que ser finito para todos $x$ y $t$ . Considerar $\exp(-|x|) / |x|^{1/3}$ . no es finito en $x=0$ , pero por lo demás bastante bien portado. Es más exacto decir que $\int_a^b |\Psi|^2\, \mathrm{d}x$ tiene que ser finito para cualquier intervalo finito $a,b\in(-\infty,\infty)$ , y la normalización requiere que también permita el intervalo infinito. La razón por la que lo dije como $\Psi$ ser finito es que, en tu ejemplo, $\Psi$ era infinito en cualquier lugar $\psi\neq0$ . La razón por la cual se puede describir en términos de probabilidad o energía, según el formalismo.
La función de onda normalizada ( $\Psi_N$ ) obtenido mediante la ecuación (1), a partir de una función de onda variable separable calculada mediante una constante de separación no real, no satisface la correspondiente ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. ¿Seguiría siendo considerada la forma normalizada de la función de onda variable separable? (De hecho, no estoy tomando un curso al respecto en este momento, de lo contrario lo habría discutido con mi TA. Me disculpo por molestarlo con preguntas tan triviales).
@AB Buen punto. Pero, entonces, estoy bastante seguro de que puedes mostrar que no es real. $k$ hace que la parte espacial de la función de onda falle $\psi\rightarrow 0$ como $x \rightarrow \pm \infty$ , por lo que es un poco discutible. (nota: "bastante seguro" significa que en este momento no sé cómo hacerlo).

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