¿Quién está haciendo la normalización de la función de onda en la evolución temporal de la función de onda?

Nadie está "haciendo la normalización".

La normalización ni siquiera es necesaria. A menudo normalizamos por conveniencia , ya que eso significa que la regla Born para$\lvert \psi \rangle$siendo el estado$\lvert \phi \rangle$lee

$$P(\psi,\phi) = \lvert \langle\psi\vert\phi\rangle \rvert ^2$$

que es ciertamente más fácil de recordar/escribir que

$$P(\psi,\phi) = \frac{\lvert \langle\psi\vert\phi\rangle \rvert ^2}{\lvert \langle\phi\vert\phi\rangle \rvert \lvert \langle\psi\vert\psi\rangle \rvert }$$

pero nada en el formalismo obliga a la normalización. El principio básico dice que los estados son rayos en el espacio de Hilbert , de modo que$\lvert \psi \rangle$y$c\lvert \psi \rangle$representan el mismo estado para todos$c \in \mathbb{C}$, y son, para todos los efectos, representantes plenamente equivalentes del mismo estado . (Esto, por cierto, significa que si queremos un espacio donde cada elemento corresponda a un estado cuántico distinto , deberíamos mirar el espacio proyectivo de Hilbert en su lugar)

Suponer$\psi$satisface la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo (adimensional):

$$i\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V(x)\psi.$$ También satisfará la ecuación conjugada: $$-i\frac{\partial\psi^*}{\partial t}=-\frac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}+V(x)\psi^*$$ Ahora considere cómo cambia la normalización con el tiempo: $$\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\int\psi^*\psi dx &= \int\left(\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}\psi^*\right)dx \\ &= \int\left(\psi\frac{1}{-i}\left(-\frac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}+V(x)\psi^*\right)+\psi^*\frac{1}{i}\left(-\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V(x)\psi\right)\right)dx\\ &=0 \end{align}$$ En el último paso usamos la integración por partes con la suposición de que todo tiende a cero en el límite de nuestro dominio de integración. (O use el hecho de que el operador de cantidad de movimiento es hermitiano).

Entonces, si comienza con una función de onda normalizada, permanece normalizada.

La respuesta a su pregunta es: Schrödinger.

Creo que es una muy buena pregunta. Como caso específico por ejemplo para el$\psi$de una partícula, decimos que$\int||\psi_t(x)|| = 1$, ¿y que significa? significa que tenemos una partícula. significa que se puede encontrar en un tiempo en algún espacio. y como decimos eso?

Creo que es solo un razonamiento lógico y es de acuerdo a lo que hemos perseverado de la naturaleza desde el principio hasta ahora que: si tenemos una partícula está (debe ESTAR) en algún espacio-tiempo. Entonces, la probabilidad de encontrarlo en todo el espacio y tiempo (universo bajo el cual experimentamos) debe ser igual a 1.