¿Por qué ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx - \omega t)} es una función de onda válida ya que no es finitamente integrable en RR\Bbb R?

Por que es ψ = mi i ( k X − ω t ) una función de onda válida ya que no es finitamente integrable en R ?

Estoy estudiando derivaciones de la ecuación de Schrödinger, que comienzan con una función de onda simple de la forma mi i ( k X − ω t ) , y derivar la ecuación de Schrödinger a partir de las derivadas temporales y espaciales de ψ , junto con las relaciones entre k y ω Residencia en mi = ℏ ω y pag = ℏ k . El cálculo es sencillo, pero me molesta la filosofía de usar ψ = mi i ( k X − ω t ) como una solución candidata, ya que

∫ − ∞ + ∞ | ψ ( X , t ) | 2 d X = ∫ − ∞ + ∞ 1 d X = + ∞
y entonces ψ no se puede normalizar. ¿Eso no lo descarta como una solución físicamente significativa para SE? ¿O eso no importa?

Editar: ¿O es el punto de que en realidad solo estamos realmente interesados ​​​​en paquetes de ondas de la forma

∫ − ∞ + ∞ A ( k ) mi i ( k X − ω t ) d k
¿ Cuál se puede hacer integrable en cuadrado? Y así mirando mi i ( k X − ω t ) ¿Es solo una conveniencia matemática para salvarnos de hacer el cálculo con integrales dando vueltas?

Estrictamente hablando, no es una función de onda válida. Sin embargo, podemos expandir las funciones de onda válidas en esta base, lo que lo hace útil. es lo mismo que el estado | X ⟩ en QM.
La normalización de caja también es otro método para dar algún sentido físico a dicha función de onda.

Respuestas (3)

¡Creo que respondió a su pregunta con el punto hecho en la parte Editar!

Como suele ser el caso, usamos cierta informalidad, incluso si no tiene sentido a primera vista, para adivinar cuál debería ser la solución, en este caso, la onda plana. Luego procedemos a ver cómo se puede arreglar. Por regla general, desafortunadamente, esto implica muy a menudo ir uno o dos pasos más arriba en el nivel de abstracción. En este caso, puede cambiar a distribuciones en las que la ecuación de Schrödinger se "levanta" para operar sobre ellas; o usar la transformada inversa de Fourier para obtener la solución como una función, aunque a costa de una función no necesariamente definida en cada punto o diferenciable en el sentido convencional. (Estaré encantado de enviar algunas referencias si está interesado o necesita un tratamiento matemático más riguroso de esto).

En resumen, incluso cuando queremos pensar en algo de la forma en que creemos que debería ser, la esencia de ello realmente es solo la forma en que se usa e interactúa con otras cosas en nuestras ecuaciones ("...si camina como un pato y habla como un pato..."). Por lo tanto, su edición es el punto de la misma.

"Estaré encantado de enviar algunas referencias si está interesado" ¡Sí, por favor! Si no es mucha molestia, me encantaría ver lo que tienes en mente. Vengo de una formación matemática, por lo que los espacios L^p, etc. son muy naturales para mí, pero estoy tratando de aprender a pensar como un físico para comprender el desarrollo de la física aquí.
El clásico absoluto es la serie de libros sobre análisis funcional de Michael Reed y Barry Simon. (Simon tiene una serie posterior sobre análisis, aunque no discute la ecuación de Schrödinger per se con tanto detalle.) Quizás más accesible es la Teoría cuántica para matemáticos de Brian Hall (por ejemplo, el capítulo 4 para comenzar con el contexto discutido aquí).

En primer lugar, la interpretación de | Ψ ( r ) | 2 como una función de densidad de probabilidad vino después del desarrollo de la mecánica ondulatoria por parte de Schrödinger. La pregunta que Schrödinger trató de responder es: ¿Cuál es la ecuación de onda para la onda partícula postulada/desarrollada por de Broglie?

En mi primera introducción (formal) a la mecánica cuántica, mi profesor lo expresó de esta manera: la mecánica ondulatoria es para la mecánica clásica lo que la óptica ondulatoria es para la óptica de rayos. Porque esa es la idea con la que Schrödinger pasó del formalismo de Hamilton-Jacobi a su famosa ecuación de Schrödinger.

Así que lo primero que hay que tener en cuenta es que la onda plana i s de hecho, una solución a la ecuación de Schrödinger. La pregunta es, ¿cómo interpretamos esta solución? Compárelo con, digamos, el estado de energía más bajo del átomo de hidrógeno. Puede parecer natural e intuitivo para todos hoy en día cuál es la interpretación de una función integrable cuadrada que describe un estado ligado, pero definitivamente ese no siempre ha sido el caso.

Solo después del postulado de Born, que el módulo cuadrado de la función de onda debe interpretarse como la función de densidad de probabilidad de la posición de la partícula, podemos dar sentido a tal solución a la ecuación de Schrödinger.

Para comprender cuál es la solución de ondas planas en QM, tal vez retroceda un paso hacia la óptica de ondas. La onda plana también es una solución a la ecuación de onda EM. Llena todo el espacio en todo momento. ¿Cuál es la interpretación física allí? Bueno, encontramos que debido a la linealidad de la ecuación de onda (em), y al hecho de que la colección de ondas planas es un conjunto ortogonal completo de L 2 ( R 3 ) , podemos escribir todas las soluciones posibles como una superposición de ondas planas (también conocida como Transformada de Fourier). Y ese es también el caso de las soluciones a la ecuación de Schrödinger.

Para guardar la interpretación de la probabilidad de | Ψ ( r ) | 2 , podemos verlo de la siguiente manera: Defina la densidad ρ ( r ) = | Ψ ( r ) | 2 y la densidad de corriente j ( r ) = ℏ 2 metro i ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) . Entonces esas dos cantidades cumplen una ecuación de continuidad:

∂ ρ ∂ t + ∇ j = 0

Entonces puede interpretar la solución de ondas planas (o superposiciones de múltiples ondas planas) como un flujo de probabilidad. Eso, en mi opinión, tiene mucho sentido para las soluciones no ligadas a la ecuación de Schrödinger, como la onda plana. Para los estados ligados hemos Nacido (donde, por supuesto, tiene sentido exigir Ψ ∈ L 2 ( R 3 ) , para tener probabilidades ligadas por 0 y 1), y para solución no ligada, tenemos esta interpretación. Todo este tema se llama "teoría de dispersión", donde describe la corriente de partículas entrantes como una onda plana.

Depende de lo que quiera decir con una función de onda "válida". mi i ( k X − ω t ) 'no' representa ningún sistema físico, por lo que no importa si es normalizable o no.

Pero entonces, ¿por qué la mayoría de los libros de texto discuten esto?

Porque satisface la ecuación de Shroedinger para un sistema con cantidad de movimiento definida ( pag = ℏ k ) , que representa una partícula libre (no existe en la vida real).

Por supuesto, las partículas libres existen en la vida real, o al menos las tratamos como tales. Toda la discusión sobre los gases fermi- y bosa y, por lo tanto, los condensados ​​de Bose-Einstein en estadística cuántica se basa en los supuestos de partículas libres. Definitivamente existen.
@Samuel Definitivamente tampoco tienen funciones de onda que parezcan mi i k X .
@d_b Si asume partículas que no interactúan, entonces sí, las funciones de onda en un BEC son ondas planas. Por supuesto, es solo una aproximación, pero aún le permite ver la condensación. Si incluye la interacción, de todos modos no puede pensar en el problema en una imagen de una sola partícula.
@Samuel ¿Estás diciendo en serio que existe una partícula libre en nuestro universo, cuya función de onda no es normalizable?
@AtulKumar (1) A esas cosas que llamamos partículas no les importa si su función de onda es normalizable o no. Las funciones de onda no son reales, son un torpe intento de describir matemáticamente la realidad. Si encontramos que algún fenómeno físico está bien descrito por ondas planas, como es el caso en la teoría de dispersión, entonces sí, "ellos" existen. Aunque en el caso de la dispersión, como ya mencioné en mi respuesta, las ondas planas describen una corriente de probabilidad; no describen una sola partícula.
(2) Para un gas bosónico, las ondas planas son normalizables, porque asumimos un volumen finito en primer lugar, calculamos la ecuación de movimiento y luego observamos el límite termodinámico de V → ∞ .
@Samuel, estoy completamente en desacuerdo contigo. Estás malinterpretando la física del gas bosónico.
@AtulKumar Está bien, pero me gustaría saber dónde crees que me equivoqué.
¿Por qué ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx - \omega t)} es una función de onda válida ya que no es finitamente integrable en RR\Bbb R?
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