Normalización de la función de onda de partículas libres

La función de onda:

es una onda plana infinita. Entonces describe una partícula que tiene una extensión infinita tanto en el tiempo como en el espacio. Es decir, existe para$-\infty \le x \le \infty$y para$-\infty \le t \le \infty$. Como era de esperar, si la partícula tiene una extensión infinita, entonces su amplitud es cero en todas partes y la normalización requiere multiplicar$\infty$por cero, lo que no tiene sentido. Esta es una idealización matemática, no un intento de describir una partícula real, y tiene toda la razón en que la partícula descrita por la ecuación no existe en la naturaleza.

En realidad, la partícula tiene una vida finita y durante esa vida puede viajar una distancia finita. Sin embargo, en muchos experimentos, por ejemplo, la dispersión, no nos preocupa de dónde vino originalmente la partícula o hacia dónde irá eventualmente, y es una aproximación conveniente describirla como una onda plana infinita.

Esta función de onda no es normalizable. ¿Significa esto que las partículas libres no existen en la naturaleza?

No, no lo hace; significa que no es válido$\psi$función para usar en una teoría basada en la interpretación de Born de$|\psi(x)|^2|$como densidad de probabilidad para la configuración$x$.

Tienes razón, no hay partículas libres en la naturaleza, pero la razón es que en la naturaleza las cosas interactúan con sus vecinos y no conocemos ninguna forma de aislar parte del mundo para evitarlo por completo. Lo que podemos hacer es minimizar las interacciones, pero siempre queda alguna.

¿Por qué entonces usamos partículas libres?$\psi(\vec{x}) = e^{ikz}$, por ejemplo, en la teoría de la dispersión?

Es mucho más fácil hacer cálculos con tales funciones y se pueden obtener algunos resultados útiles con ella.