Integridad de función propia de energía

Question

Integridad de función propia de energía

Dwade64

Tengo entendido que las funciones propias están completas (abarcan el espacio). No sé cuál es la solución a la ecuación de Schrödinger (dependiente del tiempo), pero sea lo que sea, cualquier solución (sin importar el potencial $V$ ) se puede expandir en términos de, por ejemplo, funciones propias de posición o funciones propias de momento. Me gustaría enfatizar la frase - no importa el potencial $V$ - con duda porque esto se relaciona con mi pregunta. Las funciones propias de energía también se pueden usar para representar una solución general. Sin embargo, aquí es donde comienza mi pregunta:

Considere un conjunto de funciones propias de energía $\psi_n$ que satisfacen por definición $\hat{H}\psi_n = E_n\psi_n$ . Me parece que la suma $\Psi = \sum c_n\psi_ne^{-iE_nt/\hbar}$ es una solución general de la ecuación de Schrödinger solo cuando el potencial $V$ de la ecuación de Schrödinger coincide con el potencial $V$ en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo utilizada para encontrar la $\psi_n$ 's. ¿Es esto correcto? Si es así, ¿podría decirse que las funciones propias de energía son completas solo con respecto al potencial específico $V$ de donde se derivan, mientras que (digamos) las funciones propias de impulso están completas con respecto a cualquier potencial. Si esto no es cierto, si las funciones propias de energía de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo $\hat{H}\psi_n = E_n\psi_n$ están completos con respecto a cualquier potencial $V$ usado en la ecuación de Schrödinger (dependiente del tiempo), ¿por qué no podemos usar el $\psi_n$ 's de decir el cuadrado infinito bien para construir soluciones generales $\Psi$ del pozo de función delta, pozo de potencial finito, partícula libre, etc. ¿Por qué siempre estamos resolviendo la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo cuando solo podemos usar las funciones propias de energía del pozo cuadrado infinito?

Adán

Siempre que las condiciones de contorno sean las mismas (hay que tener cuidado con los potenciales infinitos, ya que imponen condiciones de contorno), no veo ningún problema.

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Integridad de función propia de energía

Siempre que las condiciones de contorno sean las mismas (hay que tener cuidado con los potenciales infinitos, ya que imponen condiciones de contorno), no veo ningún problema.

RC Drost · Answer 1

Antes de comenzar, permítanme hacer una pausa para observar que hay una pequeña mentira en las siguientes palabras (y, más o menos, en todo el plan de estudios de pregrado) que uno descubre cuando se involucra matemáticamente; ahora mismo está presente en este artículo de Wikipedia como "sutilezas del caso ilimitado"... nuestros operadores "hermitianos" en general no están bien definidos para todos los estados que nos gustaría. Esto se vuelve especialmente importante a medida que observamos los estados propios de posición y momento; muy a menudo, los estados se vuelven no normalizables y la física puede volverse algo torpe en términos de estos.

Con esa advertencia, sí: las funciones propias de cualquier hamiltoniano dado son siempre una base completa para todo el espacio . Por ejemplo, uno puede acercarse a cualquier hamiltoniano 1D con las funciones propias del oscilador armónico; esas son funciones de onda válidas que abarcan el espacio.

Si esto es útil o no es una historia diferente. Digamos que tienes un montón de funciones $\hat H_1 |\psi_n\rangle = E_n |\psi_n\rangle$ pero luego los llevas a un nuevo hamiltoniano $\hat H_2$ . En general $|\psi_n\rangle$ ya no va a ser un vector propio para $\hat H_2,$ y por tanto su evolución bajo esa nueva ecuación de Schrödinger no va a ser $|\psi_n(t)\rangle = e^{-iE_n t/\hbar} |\psi_n(0)\rangle,$ por lo que estas energías y funciones de onda obviamente no son útiles en este nuevo contexto.

Bueno, hay una forma de hacerlos útiles, pero, por supuesto, solo hace un buen trabajo cuando $\hat H_1$ y $\hat H_2$ tener algún tipo de relación agradable. Una ecuación de Schrödinger $i \hbar \partial_t |\Psi\rangle = \hat H |\Psi\rangle$ se puede expresar puramente como un operador unitario $|\Psi(t)\rangle = \hat U(t) |\Psi_0\rangle.$ La condición es que $i\hbar \partial_t \hat U = \hat H \hat U,$ pero esto no es un problema en teoría. Esto significa que todos nuestros valores esperados en el segundo caso toman la forma

A (t) = ⟨ Ψ (t) | \hat{A} | Ψ (t) ⟩ = ⟨ Ψ_{0} | {\hat{tu}}_{2}^{†} \hat{A} {\hat{tu}}_{2} | Ψ_{0} ⟩ .

$A(t) = \langle \Psi(t)|\hat A |\Psi(t)\rangle = \langle \Psi_0|\hat U_2^\dagger \hat A \hat U_2|\Psi_0\rangle.$ Ahora que un operador unitario está definido por

U^{†} U = 1

$U^\dagger U = 1$ vamos a insertar estratégica

{\hat{U}}_{1}^{†} {\hat{U}}_{1}

$\hat U_1^\dagger \hat U_1$ términos para reescribir este mismo valor esperado como

A (t) = ⟨ Ψ_{0} | {\hat{tu}}_{1}^{†} ({\hat{tu}}_{1} {\hat{tu}}_{2}^{†} \hat{A} {\hat{tu}}_{2} {\hat{tu}}_{1}^{†}) {\hat{tu}}_{1} | Ψ_{0} ⟩ .

$A(t) = \langle \Psi_0|\hat U_1^\dagger ~\Big(\hat U_1 \hat U_2^\dagger \hat A \hat U_2 \hat U_1^\dagger\Big)\hat U_1 |\Psi_0\rangle.$ Tenga en cuenta que ahora hay una dependencia temporal complicada para este operador entre paréntesis

\tilde{A} = {\hat{U}}_{1} {\hat{U}}_{2}^{†} \hat{A} {\hat{U}}_{2} {\hat{U}}_{1}^{†}

$\tilde A = \hat U_1 \hat U_2^\dagger \hat A \hat U_2 \hat U_1^\dagger$ , pero las funciones de onda más externas obedecen la ecuación de Schrödinger para

{\hat{H}}_{1}

$\hat H_1$ , no

{\hat{H}}_{2}

$\hat H_2$ . El costo es que tenemos que cambiar a nuestros operadores para tener esta complicada dependencia del tiempo.

\tilde{A} (t)

$\tilde A(t)$ , que toma la forma de una regla de producto realmente grande,

\begin{aligned} i ℏ \partial_{t} \tilde{A} = & H_{1} {tu}_{1} {tu}_{2}^{†} \hat{A} {tu}_{2} {tu}_{1}^{†} - {tu}_{1} {tu}_{2}^{†} H_{2} \hat{A} {tu}_{2} {tu}_{1}^{†} + i ℏ \tilde{\dot{A}} + \\ {tu}_{1} {tu}_{2}^{†} \hat{A} H_{2} {tu}_{2} {tu}_{1}^{†} - {tu}_{1} {tu}_{2}^{†} \hat{A} {tu}_{2} {tu}_{1}^{†} H_{1} . \end{aligned}

$\begin{align} i\hbar\partial_t \tilde A = &H_1 U_1 U^\dagger_2 \hat A U_2 U_1^\dagger - U_1 U^\dagger_2 H_2 \hat A U_2 U_1^\dagger + i\hbar\tilde{\dot A} + \\ &U_1 U^\dagger_2 \hat A H_2 U_2 U_1^\dagger - U_1 U^\dagger_2 \hat A U_2 U_1^\dagger H_1. \end{align}$ (El signo menos de las dagas proviene de tomar la transposición conjugada de la ecuación de Schrödinger anterior).

Ir "todo el cerdo" con esto requiere reemplazar esos $\hat A$ operadores con $U_2 U_1^\dagger \tilde A U_1 U_2^\dagger$ cuyos rendimientos:

\begin{aligned} i ℏ \partial_{t} \tilde{A} = & H_{1} \tilde{A} - {tu}_{1} {tu}_{2}^{†} H_{2} {tu}_{2} {tu}_{1}^{†} \tilde{A} + i ℏ \tilde{\dot{A}} + \\ \tilde{A} {tu}_{1} {tu}_{2}^{†} H_{2} {tu}_{2} {tu}_{1}^{†} - \tilde{A} H_{1} . \end{aligned}

$\begin{align} i\hbar\partial_t \tilde A = &H_1 \tilde A - U_1 U^\dagger_2 H_2 U_2 U_1^\dagger \tilde A + i\hbar\tilde{\dot A} + \\ &\tilde A U_1 U_2^\dagger H_2 U_2 U_1^\dagger - \tilde A H_1. \end{align}$ Vemos que lo único complicado que queda es que también necesitamos

{\tilde{H}}_{2}

$\tilde H_2$ factor en estas expresiones, en lugar de la

t = 0

$t=0$ valor de

H_{2}

$H_2$ . Una vez hecho esto, encontramos solo

i ℏ \partial_{t} \tilde{A} = [H_{1} - {\tilde{H}}_{2}, \tilde{A}] + i ℏ \tilde{\dot{A}} .

$i\hbar\partial_t \tilde A = [H_1 - \tilde H_2, \tilde A] + i\hbar\tilde{\dot A}.$ Esto se llama "imagen de interacción" porque generalmente lo que hacemos es usar algunos estados ortogonales fáciles de resolver

{\hat{H}}_{1} = H_{0}

$\hat H_1 = H_0$ y luego agregue algún término de interacción que los acople,

{\hat{H}}_{2} = H_{0} + V .

$\hat H_2 = H_0 + V.$ La ecuación para un tiempo independiente

{\tilde{H}}_{2}

$\tilde H_2$ es solo

i ℏ \partial_{t} {\tilde{H}}_{2} = [H_{1} - {\tilde{H}}_{2}, {\tilde{H}}_{2}] = [H_{1}, {\tilde{H}}_{2}],

$i\hbar\partial_t \tilde H_2 = [H_1 - \tilde H_2, \tilde H_2] = [H_1, \tilde H_2],$ y en muchos casos esto simplemente golpea algunos factores de fase alrededor de los términos en

V

$V$ . Luego, en lugar de calcular estados básicos completamente nuevos, podemos usar los que nos son más familiares, prefiriendo encontrar ecuaciones diferenciales para los observables que nos interesan y resolverlos en algunos límites.

Entonces, para ser específicos, consideremos la ecuación de Schrödinger (SE) para una partícula libre. el hamiltoniano $H$ de la partícula libre tiene un espectro de valor propio continuo de energía $E$ , con funciones propias asociadas $\psi_E(x)$ . Entonces, la solución general para este SE específico es $\int c(E) \psi_E(x) e^{-iEt/\hbar}dE$ . Sin embargo, la solución general para este EE específico también se puede expandir en términos de las funciones propias del cuadrado infinito. $\psi_n(x)$ asociado con valores propios de energía discretos $E_n$ . La solución general para la partícula libre SE (o cualquier SE pero específicamente la partícula libre
aquí está $\sum_n c_n(t)\psi_n(x)$ ? Simplemente parece extraño ya que la partícula libre tiene un espectro de energía continuo pero está siendo representada por funciones propias correspondientes a un espectro de energía discreto.
Bueno, el caso del que estás hablando (partícula libre FP / partícula en una caja PB) es uno de los pocos casos en los que realmente funcionaría de esa manera, en general no podrías tomar funciones propias $\psi_n$ de hamiltoniano $H_1$ y expresar una solución para hamiltoniano $H_2$ como $\sum_n c_n(t) \psi_n(x)$ para cualquier $c_n(t).$ Pero los hamiltonianos FP y PB son idénticos en el único dominio donde se define PB, por lo que si considera un paquete de ondas gaussianas altamente localizado que está dentro de la caja, evoluciona de manera idéntica hasta que golpea los lados de la caja.
Recuerda que la expresión $\sum_n c_n(t) \psi_n(x)$ (o $\int dn$ para el caso continuo) es en realidad un intento de resolver una PDE por separación de variables. Entonces $i\hbar\partial_t\Psi=H_x[\Psi],$ asumimos $\Psi=\int dn T_n(t)X_n(x),$ encontramos $i\hbar T_n'/T_n=H_x[X_n]/X_n=\text{const.}$ porque el lado izquierdo es una función de sólo $t$ y el lado derecho es una función de solo $x$ . Encontramos que necesitamos $H_x[X_n]=\hbar\omega_n~X_n$ para que esta descomposición funcione en primer lugar. En general, las funciones no propias no seguirán siendo las mismas bajo la evolución de Schrödinger.
En cuanto a los espectros, esa es una propiedad del operador y no una propiedad de las funciones de onda. Pero permítanme intentar disipar sus temores: están muy preocupados de que nosotros en QM representemos una función arbitraria $f(x)$ en términos de algunos estados de base contable $g_n(x)$ como $\sum_n c_n~g_n(x).$ Afirmo que esto es puramente porque no tienes el coraje de tus convicciones porque te sientes muy asustado por este nuevo mundo cuántico en el que te encuentras. "¿Cómo podría probarme eso?" podrías preguntar. Así es como: no tienes absolutamente ningún problema con esto si $g_n(x) = x^n$ y lo llamo una "serie de Taylor". QED.

usuario159249 · Answer 2

Tienes que ser un poco más cuidadoso. Cuando dice que "las funciones propias del momento están completas con respecto a cualquier potencial", está diciendo que cualquier función se puede descomponer como

F (X) = \int \frac{d pag}{2 π} {mi}^{i pag X} \hat{F} (pag), \hat{F} (pag) = \int d X {mi}^{- i pag X} F (X) .

$f(x) = \int \frac{dp}{2\pi} \, e^{ipx} \hat{f}(p)\,, \quad \hat{f}(p) = \int dx\, e^{-ipx} f(x)\,.$ Pero esto es una tontería formal: para una función general

f (x)

$f(x)$ , la integral que define

\hat{f} (p)

$\hat{f}(p)$ no existe (diverge). Es necesario imponer algunas condiciones a

f

$f$ , por ejemplo que

\int d X | F (X) |^{2} < \infty .

$\int dx \, |f(x)|^2 < \infty\,.$ Al imponer tales restricciones (hay varias elecciones que puede hacer), está definiendo una clase de funciones que es precisamente un espacio de Hilbert. Esto lo lleva por el camino matemático para definir la transformada de Fourier.

Lo mismo se aplica al tipo de problema que le interesa, es decir, una base completa de funciones de onda. $\{\psi_n\}$ con respecto a algún potencial $V(x)$ . Ahí tienes una descomposición.

F (X) = \sum_{norte} F_{norte} ψ_{norte} (X), F_{norte} = \int d X w (X) ψ_{norte}^{*} (X) F (X)

$f(x) = \sum_n f_n \psi_n(x)\,, \quad f_n = \int dx\, w(x)\, \psi_n^*(x)\, f(x)$ donde esto es posiblemente alguna función de peso

w (x)

$w(x)$ . De nuevo la definición integral

f_{n}

$f_n$ diverge si conectas una función general

f (x)

$f(x)$ . Una vez más, tienes que trabajar dentro de algún espacio de Hilbert

H

$\mathcal{H}$ para dar sentido a estas manipulaciones. Si hace el ejercicio, verá que las condiciones de contorno en el infinito (o en algunos puntos de contorno, si está trabajando en un intervalo finito) están codificadas esencialmente por el potencial

V (x)

$V(x)$ .

Todo este asunto se llama teoría de Sturm-Liouville, y si desea comprender QM en cualquier nivel serio, debe dedicar algún tiempo a estudiarlo (no es difícil).

fénix87 · Answer 3

Si su potencial depende del tiempo, no veo una forma de justificar el uso de la ecuación de Schroedinger "independiente del tiempo". Supongamos que eso $H$ es un operador que solo contiene derivadas y operadores de multiplicación relativos a las variables $\mathbf x$ . Olvidando los factores numéricos, se puede escribir la ecuación de Schroedinger como

H ψ = \dot{ψ} .

$H\psi = \dot\psi.$

Por la teoría de Sturm-Liouville, busquemos soluciones de la forma $\psi(\mathbf x,t) = \phi(\mathbf x)\chi(t)$ . Entonces llegamos a la igualdad

\frac{H ϕ}{ϕ} (X) = \frac{\dot{x}}{x} (t), \forall X, t

$\frac{H\phi}\phi(\mathbf x) = \frac{\dot\chi}\chi(t),\qquad\forall\ \mathbf x,t$

lo que significa que cada término es constante, es decir, obtenemos la ecuación "independiente del tiempo"

H ϕ (X) = mi ϕ (X) .

$H\phi(\mathbf x) = E\phi(\mathbf x).$

Si $H$ tiene una dependencia de $t$ a través de $V$ No veo cómo llegar a las mismas conclusiones.

Por "dependiente del tiempo", el OP solo significa el $i\partial_t \psi = H\psi$ , no es que el potencial dependa del tiempo, por lo que la respuesta está fuera de tema.
entonces no entiendo "...cuando el potencial $V$ de la ecuación de Schrödinger coincide con el potencial $V$ en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo...".
Resuelva el SE independiente del tiempo para el potencial V1. ¿Puede usar las funciones propias correspondientes para describir la evolución temporal bajo el potencial V2?

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