Estados ligados y estados de dispersión - Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

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Estados ligados y estados de dispersión - Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

David

Si tenemos un sistema cuántico descrito por la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (TISE) :

- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{d^{2} ψ}{d X^{2}} = mi ψ

$\begin{equation} -\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}=E \psi \end{equation}$

Tenemos dos posibles tipos de soluciones :

Estados ligados: esto significa localización. Representan valores discretos de energía llamados niveles de energía. Son exponenciales imaginarias, es decir, funciones oscilantes.
Estados de dispersión: esto significa movimiento. Representar haces de partículas. Son exponenciales reales, es decir, funciones decrecientes o ascendentes.

Pero, si tenemos un sistema cuántico descrito por la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo (TDSE) :

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ (X, t) = [- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} + V (X, t)] Ψ (X, t)

$\begin{equation} i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x, t)=\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+V(x, t)\right] \Psi(x, t) \end{equation}$

Para la partícula libre, las soluciones son ondas planas (o superposiciones de ondas planas, es decir, paquetes de ondas).

¿Qué podemos decir acerca de sus soluciones en términos de estados ligados y de dispersión?
Utilizando el análisis de Fourier, ¿podemos asegurar que las soluciones de la TDSE con cualquier potencial $V(x,t)$ Habrá ondas planas o superposición de ondas planas?

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Estados ligados y estados de dispersión - Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

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En la teoría independiente del tiempo, la distinción es realmente la cuestión matemática de si el espectro de valores propios del hamiltoniano es continuo (dispersión) o discreto (ligado), lo que a su vez afecta el tipo de normalización que se puede aplicar a esos estados propios. En general, el espectro de un operador hermitiano tendrá una combinación de ambos (incluida la posibilidad de un estado discreto en el continuo), siendo un ejemplo clásico el átomo de hidrógeno.

Tenga en cuenta que si restringe a un hamiltoniano independiente del tiempo, puede hacer que el ansatz

Ψ (X, t) = ψ (X) T (t)

$\Psi(x,t) = \psi(x)T(t)$

que transforma el TDSE en

\frac{\hat{H} ψ (X)}{ψ (X)} = mi = i ℏ \frac{\partial_{t} T (t)}{T (t)}

$\frac{\hat H \psi(x)}{\psi(x)} = E = i\hbar \frac{\partial_t T(t)}{T(t)}$

Resolver esto te da el famoso resultado de que los estados propios de energía evolucionan en el tiempo al acumular una fase dependiente de la energía, $T(t) = \exp(-iEt/\hbar)$ , dónde $E$ vino del TISE.

La teoría totalmente dependiente del tiempo es más complicada. Si el hamiltoniano depende del tiempo, como el suyo, entonces la energía no se conserva (localmente) y la ecuación de Schrödinger no es separable, lo que requiere un método de solución diferente. Es más difícil clasificar las soluciones de esa ecuación sin alguna concreción que permita el uso de un esquema de aproximación: si V(t) varía lentamente, se puede usar la aproximación adiabática, si V(t) es débil en relación con otros términos, Se puede utilizar la teoría de la perturbación dependiente del tiempo.

Conceptualmente, es fácil ver cómo la evolución temporal adiabática (es decir, muy lenta) puede generar un estado enlazado libre, por ejemplo, $V(x,t) = \frac{-H(-t) t/\tau }{2}m\omega^2x^2$ . Dejamos $\tau \gg 1/\omega$ decir que V se cambia muy lentamente.

Si $t<0$ , este es un oscilador armónico con estados propios de energía ligada y localizados y un estado fundamental bien definido, mientras que en $t>0$ es una partícula libre.

Esto puede verse como un apagado lento de un potencial de captura, donde la función de onda de la partícula atrapada se expande para ocupar finalmente toda la línea real. De manera similar, el espectro de energía cuando $t<0$ es dado por $E_n = \hbar\frac{|t|}{\tau}\omega(n+\frac{1}{2}), n\in \mathbb{Z}$ Como $|t| \to 0$ , el espectro se 'condensa' en un bloque continuo correspondiente a una partícula libre.

Digamos $V(x)$ es el potencial de Coulomb. Puedo resolver el TDSE y ver qué sucede con un paquete de ondas que interactúa con este potencial. Entiendo esto como una solución de dispersión de la PDE. Pero, ¿qué pasa si quiero soluciones de estado ligado?
Cuando V(x) es independiente del tiempo (como el potencial de un átomo de hidrógeno), se resuelve el TISE para construir una solución completa del TDSE, de la forma $\sum_E a_E \exp(-iEt/\hbar) \psi_E(x)$ , donde \psi_E(x) es una función propia del hamiltoniano y a_E son constantes de expansión. Esto funciona tanto para soluciones acotadas como continuas (excepto que en el último caso, la suma se convierte en una integral).

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