δ(0)=∫∞−∞|x1(x)|2dxδ(0)=∫−∞∞|x1(x)|2dx\delta(0)=\int_{-\infty}^\infty |x_1( x)|^2dx?

Es un fenómeno general que si un estado propio corresponde a un valor propio discreto (como los estados propios ligados del átomo de hidrógeno o los hamiltonianos potenciales armónicos), el estado es normalizable, y si corresponde a un valor propio continuo, el estado no es normalizable. Por "valor propio continuo" me refiero a un valor propio que pertenece a una parte continua del espectro. El operador de posición$\hat{x}$tiene un espectro continuo, por lo tanto, no es realmente un problema que preguntar por la norma de$|x\rangle$no tiene sentido, porque no deberíamos esperar que ese estado tenga una norma bien definida en primer lugar.

Las cosas se ven raras en su ejemplo debido a la función delta, pero la rareza también ocurre en otros lugares. Por ejemplo, considere el operador de cantidad de movimiento$\hat{p}$. Un vector propio de$\hat{p}$con valor propio$p$es:

$$\psi_p(x)=e^{i p x}$$

La integral de la norma de este sobre todo el espacio diverge claramente. Este es exactamente el mismo problema que el "$\delta(0)$"problema. Así que uno tiene que elegir su normalización por otra condición. Por lo general, esto se hace a través de la identidad$\int_{-\infty}^\infty e^{ikx}dk=2\pi\delta(x)$, que se puede hacer riguroso de otras maneras. Entonces normalmente definimos

$$\langle x|p\rangle=\psi_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i p x}$$ como la normalización correcta, porque entonces

$$\begin{align*} \langle p | p'\rangle&=\int \langle p | x \rangle\langle x | p'\rangle dx \\ &=\int \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ip x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ip' x}dx \\ &=\int \frac{1}{2\pi}e^{ix(p'-p)}dx \\ &=\delta(p'-p) \end{align*}$$ Esto definitivamente es una condición de normalización distinta de $\langle p | p\rangle=1$! Otras normalizaciones son útiles para otros contextos. Si mal no recuerdo, la normalización de "probabilidad 1 para 1 unidad de cubo" (correspondiente al primer caso sin pi) es más útil cuando se calculan secciones transversales de dispersión.

En general, todo esto es posible de hacer riguroso, pero no se obtiene mucho de ello. Para el espectro de la$\hat{x}$operador, estos estados propios no están técnicamente en el espacio de Hilbert . Para hacer que el segundo conjunto de ecuaciones sea riguroso, generalmente actúa sobre una función de prueba (así que en lugar de preocuparse por si$\int_{-\infty}^\infty e^{ikx}dk=2\pi\delta(x)$, te preocupas por si$\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{ikx} f(x)dkdx=2\pi f(0)$, para varias restricciones en la función$f$y varios límites de la integral. Es útil prestar un poco de atención a estos tecnicismos, pero generalmente no obtienes mucha física de ellos.

Asumiendo que todo lo que estamos haciendo está bien definido (lo cual no es realmente cierto, pero la última vez que verifiqué esto no era math.stackexchange), tenemos lo siguiente:

$$\begin{align} \langle x_1 | x_1 \rangle &= \int \mathrm{dx}\ |x_1(x)|^2 \\ &= \int \mathrm{dx}\ \delta(x-x_1)^2 \\ &= \int \mathrm{dx}\ \delta(x-x_1)\delta(x-x_1) \\ &= \delta(x_1 - x_1) \\ &= \delta(0) \end{align}$$

así todo sale bien. El paso crucial es la cuarta igualdad, donde he usado$\int \mathrm{d}x\ \delta(x-x_1) f(x) = f(x_1)$con$f(x) = \delta(x-x_1)$.