Si las tasas de cambio instantáneas no son tan rigurosas, ¿qué tan correcto es el uso de las tasas de cambio instantáneas (como la velocidad) por parte de los físicos?

Está perfectamente bien usar la intuición al aplicar las matemáticas; es solo que en las matemáticas mismas queremos definiciones rigurosas para que podamos probar cosas. Buscamos definiciones que formalicen nuestra intuición sobre algo.

Solo considere el ejemplo simple de encontrar la derivada de$f(x) = x^2$. Usando la "definición intuitiva" no está muy claro que esto deba ser igual$2x$. Por supuesto, podría mirar algunos ejemplos y extrapolar de ellos que debería ser cierto, pero ¿cómo puede estar realmente seguro? En contraste, la definición "dura" (que también puede considerarse bastante intuitiva) le permite directamente construir la derivada.

El enfoque que toman los matemáticos a menudo es tomar algún concepto, indicar qué propiedades debería tener, tratar de formalizarlas y ver si el resultado es:

• ya "precisa" un concepto lo suficientemente bien o si todavía es demasiado general
• se ajusta a nuestra intuición.

Así que definimos el concepto matemático de derivada de la forma en que lo hicimos, porque corresponde a nuestra noción intuitiva de tasa de cambio y, por lo tanto, debería ser aplicable en circunstancias en las que se solicita algo intuitivo.

Al aplicar las matemáticas en física, ingeniería, etc., por supuesto, siempre debe considerar si tiene sentido modelar algún fenómeno de la vida real a través de la versión matemática idealizada: ¿Qué suposiciones se incluyen en una derivada? ¿Son compatibles con el mundo real? Seguramente se necesita alguna noción de continuidad para una derivada. ¿El mundo real es continuo? Realmente no lo sabemos, y afaik (no un físico) nunca podremos averiguarlo. Es por eso que la física es más que solo construir teorías: también necesitamos hacer experimentos para ver si nuestra teoría se corresponde con el mundo real hasta cierto margen de error aceptable. Y a juzgar por los experimentos y el éxito que tenemos al modelar el mundo real usando cálculo diferencial, parecería que usar la intuición detrás de las derivadas en el mundo real no está del todo mal.

1. No estoy de acuerdo con la Respuesta citada en su primera línea: 'tasa de cambio instantánea' tiene un significado formal. El hecho de que un concepto se defina con referencia a los detalles de su vecindario no significa que la idea/concepto sea confuso o informal.

   Tasa de cambio instantáneo $(R)$en$q$es groseramente análogo al país de nacimiento $(N)$de$p:$seguro, los barrios de$q$y$p$existir independientemente de$q$y$p,$pero esto no resta valor al hecho de que los valores de$R$y$N$en$q$y$p,$respectivamente, dependen —de hecho, se definen con base— en los respectivos vecindarios de$q$y$p.$Las definiciones de$R$y$N$son rigurosos, precisos e inequívocos.

2. Estás de acuerdo en que para un automóvil que se mueve a una velocidad constante$70\mathrm{km/h}$velocidad, su velocidad instantánea en$t=100\mathrm s$rigurosa y precisamente es igual$70\mathrm{km/h}.$

   Presumiblemente, también está de acuerdo en que incluso si el automóvil viajaba a una velocidad variable, continúa teniendo cierta velocidad instantánea en$t=100\mathrm s.$

   Si es así, entonces su pregunta es: ¿es la formalización de la 'velocidad instantánea' (tasa de cambio, derivada) algo arbitraria al capturar la velocidad instantánea real ? Diría que realmente refleja "con precisión" y, a riesgo de sonar circular, definitivamente la realidad.

Creo que no te diste cuenta de que la "pendiente de$f$en$x$"no tiene sentido hasta que lo defines, pero ¿ cómo puedes definirlo con precisión ? Ese es el verdadero problema.

No puedes simplemente decir "tangente", tampoco, porque eso simplemente cambia el problema por un problema peor. No solo es difícil definir "tangente", falla en casos como$f : ℝ→ℝ$definido por$f(0) = 0$y$f(x) = x^2·\cos(1/x)$para cada$x∈ℝ_{≠0}$, si intenta definir "tangente" en términos de una línea que toca solo una vez en un pequeño disco abierto alrededor del punto.

En última instancia, una de las mejores formas de definir "pendiente/gradiente de$f$en$x$" es a través de la definición estándar. Podría preguntar "¿ Por qué esa definición? ", y la respuesta es:

¡Porque esa definición da buenas propiedades, e incluso se corresponde con la intuición!

Mira, supón que tienes una ladera suave y conoces una función$f$que captura su elevación para cada coordenada a lo largo de un camino recto hasta esa colina. Entonces la definición rigurosa de$f'$en realidad te da algo que coincide con la noción intuitiva de pendiente . La razón es que la pendiente es intuitivamente "qué tan rápido sube", y no puede medirla en un solo punto, pero puede medirla cerca de un punto. Si te acercas a ese punto en la ladera y gradualmente se ve más y más recto a medida que te acercas, entonces es (rigurosamente demostrable que es) diferenciable allí y de hecho$f'$en ese punto es exactamente la pendiente de la línea a la que te aproximas cuando haces zoom.

De manera similar, la velocidad instantánea de un vehículo no se puede medir realmente en la vida real, pero lo que mide el velocímetro es cuántas vueltas da la rueda en un pequeño intervalo de tiempo. De hecho, debe notar que si pisa y apaga rápidamente el pedal del acelerador, el velocímetro en realidad no le muestra la velocidad que cambia rápidamente, precisamente porque no mide la velocidad instantánea y su resolución de tiempo no es tan buena. Pero si viaja en un viaje relativamente tranquilo, entonces la derivada matemáticamente rigurosa coincide estrechamente con lo que muestra el velocímetro, porque cada pequeña parte del gráfico de velocidad-tiempo es casi lineal.

No es que no sean rigurosos, es que los libros de cálculo, como es habitual, no necesariamente se preocupan de hacer las distinciones pertinentes para hacerlo totalmente riguroso. Se pueden hacer rigurosos.

Una cosa que diría es que la "tasa de cambio instantánea" es algo que se puede definir como formalmente equivalente a, pero conceptualmente distinto de , la derivada, siendo la derivada más general. Una derivada, en el caso de una función de una variable real, es una cierta cantidad que caracteriza el comportamiento local de tal función alrededor de un punto de entrada y cómo responde a pequeños cambios en esa entrada o, mejor, cómo difiere su salida cuando considerando valores de entrada ligeramente diferentes de una entrada en particular y comparándolos con el valor que alcanza en esa entrada en particular.

La razón por la que digo esto es porque el concepto de "tasa de cambio" supone implícitamente un flujo de tiempo , y no todas las derivadas implican tiempo.

el derivado de$f$en$a$es definido por

como tu ya sabes.

Pero ahora, la tasa de cambio instantánea. Al analizar ese término, lo ideal sería decir que, para que la intuición sea rigurosa, deberíamos definir qué es una "tasa de cambio" y, además, qué significa que esa tasa sea "instantánea".

¿Entonces cómo hacemos eso? Analizando más el término, vemos que necesitamos definir "cambio" y "tasa". El cambio , antes de llegar a la "tasa de", de una cantidad que varía temporalmente del tiempo$t_1$al tiempo$t_2$, dado como una función$f$del tiempo, se define así por

es decir, el cambio es solo resta (diferencia). Entonces, la tasa de cambio es la relación de dos cambios (tenga en cuenta que el "cambio en el tiempo" puede entenderse como el cambio de la función identidad del tiempo, por lo que no necesitamos otra definición):

de donde podemos ver que

Entonces, ¿cuál es entonces la tasa de cambio instantánea ? Lógicamente, es la tasa de cambio en un solo instante, es decir, cuando$t_1 = t_2 = t_a$en un instante determinado$t_a$. Sin embargo, no podemos lograr eso con la definición anterior porque obtenemos un error de división por 0. En cambio, lo que debemos hacer es usar un límite para completarlo; en particular, debemos tomar el siguiente límite bidimensional:

donde solo consideramos puntos$t_1$y$t_2$tal que ambos$t_1 \le t_a \le t_2$, es decir, los intervalos de cambio "soporte" nuestro punto deseado$t_a$, y$t_1 \ne t_2$. Entonces nosotros tenemos

Teorema: Si el IRoC de$f$existe en$a$, entonces es igual$f'(a)$.

En Matemáticas, las definiciones y los sistemas no se escriben una vez y se hornean en arcilla.

En cambio, se desarrollan con el tiempo. Para las derivadas, puede volver a Newton y Leibniz, quienes desarrollaron formas de describir las pendientes de las ecuaciones usando una sintaxis diferente y definiciones diferentes. Según los estándares actuales, ninguna de las definiciones era "formal".

Con el tiempo, la sintaxis que usamos para hablar de derivadas, los términos que usamos y las definiciones formales han evolucionado.

La definición formal más común que usamos para las derivadas de funciones unidimensionales es la basada en epsion-delta. Hay otros que se puede demostrar que dan los mismos resultados en el conjunto de funciones comunes que acordamos colectiva e intuitivamente sobre lo que significa "pendiente".

En casos extremos, dos formas diferentes de hablar sobre derivadas pueden describir las cosas de manera diferente; esos casos extremos tienden a ser bastante raros.

Y luego subes y empiezas a hablar de abstracciones de la derivada. ¿Qué sucede cuando en lugar de funciones de$\mathbb{R}$a$\mathbb{R}$, estamos hablando de$\mathbb{Z}$a$\mathbb{Z}$o números complejos o cuaterniones o polinomios o vectores o estructuras de grupos más exóticas o álgebras de Lie.

En esos contextos, encontrará estructuras similares a derivadas que se relacionan con características importantes de la derivada, ya sea "esto es como una pendiente" o "tiene propiedades algebraicas similares a las del operador diferencial".

Pero lo que lo convierte en la derivada es que cuando tienes un dibujo razonablemente bueno de una línea que no se pliega, el valor que asigna a cada punto a lo largo de la línea es la pendiente de la línea que dibujaste. Ese es el concepto central que unifica la derivada de Newton con las modernas épsilon-deltas o definiciones de derivadas infinitesimales.

Trabajar con eso directamente es como cocinar comida cuando su definición de comida es "cosas que comen los bichos". Cualquier definición técnica de comida tiene que ser consistente con eso. Cualquier definición gastronómica de comida tiene que ser coherente con eso. Pero esa no es una definición de trabajo útil para casi ningún propósito práctico.

Si mañana a alguien se le ocurriera y compartiera una mejor definición de derivada que abarcara la idea de tasa de cambio instantánea pero resultara mucho más útil que las existentes, durante un período de décadas esperaría la definición actual basada en épsilon-delta a caer en protagonismo. La nueva definición seguiría siendo "la derivada" (o eventualmente lo sería), por lo que decir que la definición épsilon-delta es lo que "es" la derivada es engañoso a mediano o largo plazo.