¿Por qué 3blue1brown usa "alrededor de un punto" para describir una derivada?

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¿Por qué 3blue1brown usa "alrededor de un punto" para describir una derivada?

tratando de ser bestial

En este artículo (que también incluye un enlace a la versión en video del artículo), Grant Sanderson, también conocido como 3blue1brown, describe un derivado. Él dice al final del pasaje titulado "La paradoja" , "Dado que el cambio en un instante todavía no tiene sentido, en lugar de interpretar la pendiente de esta línea tangente como una "tasa de cambio instantánea", una noción alternativa es pensar en como la mejor aproximación constante para la tasa de cambio alrededor de un punto".

Sin embargo, seré el abogado del diablo y no estoy de acuerdo con él. Particularmente discrepo con su uso de la palabra "alrededor de un punto". Creo que la pendiente de la recta tangente es la pendiente de la curva en ese punto exacto, no alrededor de ese punto. Presentaré dos citas a favor de mi caso:

Para citarme parcialmente de mi pregunta más reciente , consideremos 2 puntos diferentes $A$ & $B$ del gráfico anterior. Ahora, si encontramos la pendiente de la recta secante $AB$ , será una aproximación de la pendiente de $A$ . Si elegimos un punto que está más cerca de $A$ que $B$ , $C$ , la pendiente de $AC$ será una mejor aproximación de $A$ pendiente de . Ahora, si sabemos cuál es el valor que las pendientes de las rectas secantes se acercan a medida que los puntos se acercan más y más a $A$ , podremos encontrar la mejor aproximación y la respuesta más correcta de la pendiente de ese punto: el valor aproximado. Es la mejor aproximación porque sabemos que las aproximaciones son cada vez mejores a medida que se acercan más y más al valor aproximado, por lo que el valor aproximado es la aproximación más precisa y es la pendiente de la curva en ese punto exacto . punto , no alrededor de ese punto. Podemos calcular este valor aproximado tomando el límite:

F^{'} (X) = \underset{h \to 0}{límite} \frac{F (X + h) - F (X)}{h}

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$f'(x)$ es el valor aproximado, y se conoce como la derivada de $f$ en $x$ .

Para citar el comentario de @Javier a esta pregunta , "Tal vez deberías tratar de no pensar en los límites como movimiento, porque entonces, como dices, nunca "llegas allí". Más bien, cuando ves un límite como el derivado, imagina que hay un número que no puede calcular, pero que puede aproximar con una precisión arbitrariamente alta. Esto no es un pensamiento confuso que engaña al evadir el concepto de tasa de cambio instantáneo; si puede aproximar un número arbitrariamente bien , entonces sabe exactamente lo que es. es decir, incluso si no puedes calcularlo "directamente". Desde este punto de vista, el límite no es un proceso que nunca terminará. En cambio, es una forma indirecta de especificar (sin ambigüedad) un número que de otro modo no podrías calcular. .Tal vez esto ayude."

En resumen, creo que una derivada es la pendiente de un gráfico/curva en un punto exacto, no cerca de ese punto ni alrededor de ese punto.

Creo que el razonamiento de 3blue1brown puede generar problemas. En el pasaje titulado "La paradoja en el tiempo cero" , esencialmente argumenta que en el tiempo cero, el automóvil no está estático a pesar de que la derivada nos da $0$ en ese punto. Él dice: "Para empujones cada vez más pequeños en el tiempo, esta proporción del cambio en la distancia sobre el cambio en el tiempo se aproxima $0$ , aunque en este caso en realidad nunca lo golpea". Sin embargo, diría que, como podemos ver, a medida que nuestras aproximaciones se acercan $0$ cada vez somos más precisos. A medida que nos acercamos arbitrariamente a cero, nuestras aproximaciones se vuelven arbitrariamente precisas. Entonces, podemos entender que la aproximación más precisa es el valor aproximado a medida que nuestras aproximaciones son cada vez mejores a medida que nos acercamos más y más al valor aproximado. Ver el comentario de @Javier arriba.

Preguntas:

¿Estoy en lo correcto o 3blue1brown es correcto?

Dave L Renfro

la mejor aproximación constante para la tasa de cambio alrededor de un punto --- Creo que estás malinterpretando esta parte. Hay, en general, muchas (generalmente infinitas, de hecho) tasas de cambio alrededor de un punto, en el sentido de los valores de las pendientes secantes para dos puntos elegidos cerca del punto (técnicamente hablando, uno de estos dos puntos será el ubicación de la tangente en sí misma), y el autor está diciendo que la tasa de cambio instantáneo en la ubicación de la tangente es (en términos generales, lo que se pretendía que fuera) la mejor aproximación de un solo número de estas pendientes secantes.

Campo ciclotómico

Necesita un conjunto abierto que contenga el punto de derivación para dar sentido a la derivada, por lo que decir "alrededor del punto" me parece más preciso. No puede entender el límite derivado sin considerar cómo se comportan los valores cercanos para garantizar la convergencia.

david k

"Si elegimos un punto que está más cerca de

A

$A$ que

B

$B$ ,

C

$C$ , la pendiente de

A C

$AC$ será una mejor aproximación de

A

$A$ pendiente de . No necesariamente, incluso en los casos en que la derivada en

A

$A$ existe

tratando de ser bestial

@DavidK hmm estoy de acuerdo; para funciones sin forma uniforme, podría tener razón; sin embargo, por

y = x^{3}

$y=x^3$ , estoy en lo cierto, ¿verdad?

david k

La pendiente entre los puntos de esa función en particular converge sin "altibajos", eso es cierto. Pero sabemos esto porque podemos considerar las pendientes de rectas secantes a través de todos los puntos en una vecindad de

A

$A$ , todo a la vez. La derivada se define en un punto exacto, pero esa definición también se basa en todos los puntos alrededor de ese punto.

Respuestas (1)

¿Por qué 3blue1brown usa "alrededor de un punto" para describir una derivada?

la mejor aproximación constante para la tasa de cambio alrededor de un punto --- Creo que estás malinterpretando esta parte. Hay, en general, muchas (generalmente infinitas, de hecho) tasas de cambio alrededor de un punto, en el sentido de los valores de las pendientes secantes para dos puntos elegidos cerca del punto (técnicamente hablando, uno de estos dos puntos será el ubicación de la tangente en sí misma), y el autor está diciendo que la tasa de cambio instantáneo en la ubicación de la tangente es (en términos generales, lo que se pretendía que fuera) la mejor aproximación de un solo número de estas pendientes secantes.
Necesita un conjunto abierto que contenga el punto de derivación para dar sentido a la derivada, por lo que decir "alrededor del punto" me parece más preciso. No puede entender el límite derivado sin considerar cómo se comportan los valores cercanos para garantizar la convergencia.
"Si elegimos un punto que está más cerca de $A$ que $B$ , $C$ , la pendiente de $AC$ será una mejor aproximación de $A$ pendiente de . No necesariamente, incluso en los casos en que la derivada en $A$ existe
@DavidK hmm estoy de acuerdo; para funciones sin forma uniforme, podría tener razón; sin embargo, por $y=x^3$ , estoy en lo cierto, ¿verdad?
La pendiente entre los puntos de esa función en particular converge sin "altibajos", eso es cierto. Pero sabemos esto porque podemos considerar las pendientes de rectas secantes a través de todos los puntos en una vecindad de $A$ , todo a la vez. La derivada se define en un punto exacto, pero esa definición también se basa en todos los puntos alrededor de ese punto.

ryang · Answer 1

Grant Sanderson dice: "Dado que el cambio en un instante todavía no tiene sentido , en lugar de interpretar la pendiente de esta línea tangente como una "tasa de cambio instantánea", una noción alternativa es pensar en ella como la mejor aproximación constante para la tasa de cambio alrededor un punto".

Sin embargo, no estoy de acuerdo con su uso de la palabra "alrededor de un punto". Creo que la pendiente de la recta tangente es la pendiente de la curva en ese punto exacto, no alrededor de ese punto. Creo que una derivada es la pendiente de un gráfico/curva en un punto exacto, no cerca de ese punto ni alrededor de ese punto. ¿Estoy en lo correcto o 3blue1brown es correcto?

Tienes razón y no estás en absoluto en desacuerdo con Grant. Lea con cuidado: en ningún punto (jaja) Grant afirmó que la derivada en un punto es la pendiente alrededor del punto.

La parte en negrita es correcta: " cambio instantáneo " de hecho no tiene sentido, sin embargo, " tasa de cambio instantáneo " tiene perfecto sentido. Si bien la tasa de cambio en un instante dado es un concepto significativo, no tiene sentido hablar de cambio en/a lo largo de un instante, porque el cambio debe medirse en un intervalo, ya que un instante es infinitesimal/inconmensurablemente pequeño.

(Estás en un vehículo que se mueve a 60 km/h. En cualquier instante, no experimentas ningún desplazamiento, por lo tanto, no tienes un cambio instantáneo. Sin embargo, en cada instante, tu tasa de cambio instantáneo es de 60 km/h).

Grant está diciendo que aunque derivado significa "tasa de cambio instantánea", quizás esa no sea la forma más esclarecedora de entender la idea; él propone que, en cambio, pensemos en las (múltiples copias de) las tasas de cambio "alrededor" del punto en cuestión, y que la derivada requerida es la "mejor" línea tangente que puede encontrar en ese punto (basado en estas múltiples copias).

A pesar de $f$ debe definirse en $c$ para $f$ ser diferenciable en $c,$ observe que el cociente de la diferencia $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ tiene sentido solo para $x\neq c$ (es decir, $h\neq0$ ).

Para citar a Blue :

Responde al comentario del OP:

"Sin embargo, en cada instante, tu tasa de cambio instantáneo es de 60 km/h". Esto se acerca más a mi línea de pensamiento; sin embargo, creo que Grant no estaría de acuerdo contigo; ver abajo: él no está de acuerdo con que la velocidad del automóvil sea $0$ en el momento $t=0.$

esencialmente argumenta que en el tiempo cero, el automóvil no está estático a pesar de que la derivada nos da $0$ en ese punto.

Deduzco de sus informes / resúmenes que está malinterpretando a Grant: ¡él dice que el automóvil no es estático no es lo mismo que él dice que su velocidad no es cero!

derivada cero $\kern.6em\not\kern-.6em\implies$ coche estático $\quad\longleftarrow$ Grant afirma esto.
coche no estático $\implies$ velocidad distinta de cero $\quad\longleftarrow$ Grant no afirma esto.

¡¡Gracias por tu respuesta!! "Sin embargo, en cada instante, tu tasa de cambio instantáneo es de 60 km/h". Esto se acerca más a mi línea de pensamiento; sin embargo, creo que Grant no estaría de acuerdo contigo; ver mi último párrafo sobre "la paradoja en el tiempo cero"; él no está de acuerdo en que la velocidad del automóvil es $0$ en el momento $t=0$
@ryang. Lo siento, ¿por qué la velocidad instantánea cero no es igual a la del automóvil estático?
@Heroz Si se le dice que la velocidad cero es instantánea , entonces no tiene una premisa para inferir que es sostenida; si la velocidad cero no se mantiene, entonces el automóvil está en movimiento, es decir, el automóvil no está estático. Un instante no es simplemente un momento extremadamente breve, sino precisamente una instantánea en el tiempo.

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