¿Cuál es la tasa de cambio instantáneo en el mundo real?

Considere este ejemplo: se sube a su automóvil y conduce. La función$f(t)$te dice la distancia que has recorrido hasta el momento$t$. Ahora la derivada de esta función es tu velocidad momentánea.

Entonces, dado que solo pidió una interpretación, piense en esto: ¿Alguna vez se sentó en un automóvil preguntándose qué tan rápido iba 'en ese caso'? Por supuesto, técnicamente hablando, el tacómetro solo te da una velocidad promedio durante el último segundo más o menos, pero a menudo todavía se piensa en ella como la velocidad del automóvil 'en este momento'.

Las funciones con las que estamos trabajando en cálculo son (al menos en el nivel introductorio) continuas . Básicamente, esto significa que no importa qué tan lejos los acerquemos, seguirán siendo suaves. Es por eso que podemos encontrar la tasa de cambio instantánea en algún punto; siempre podemos mirar un intervalo cada vez más pequeño$\Delta x$y calcula el valor de la pendiente$\frac{\Delta y}{\Delta x}$. Si la función es continua, entonces podemos hacer esto para un pequeño$\Delta x$como queramos, así que si dejamos$\Delta x \rightarrow 0$, obtenemos el límite hacia el que tiende la pendiente en ese punto y lo llamamos$\frac{dy}{dx}$o Tasa de cambio instantánea .

En el mundo real, las cosas nunca son realmente continuas, pero a menudo es una buena aproximación, por lo que podemos usar las herramientas que aprendemos del cálculo de todos modos.