Demostrar la exactitud de la definición de derivada alternativa

Sabemos que la derivada existe como F ′ ( X ) = límite h → 0 F ( X + h ) − F ( X ) h . Usando esto, ¿cómo podemos probar que es F ′ ( X ) = límite h → 0 F ( X ) − F ( X − h ) h ¿también? Probé la definición del límite: si existe, los límites de ambos lados también existen y son iguales.

F ′ ( X ) = límite h → 0 F ( X + h ) − F ( X ) h = límite h → 0 + F ( X + h ) − F ( X ) h = límite h → 0 − F ( X + h ) − F ( X ) h
Creo que esto debería conducir fácilmente a la prueba, pero de alguna manera me lo estoy perdiendo.

En la definición ordinaria de la derivada, el límite significa el límite bilateral. Por lo tanto, funciona automáticamente si reemplaza h por − h . Por supuesto, es fácil encontrar funciones donde existe un límite unilateral pero no un límite bilateral.

Respuestas (1)

Echemos k = − h

límite h → 0 F ( X + h ) − F ( X ) h = límite k → 0 F ( X − k ) − F ( X ) − k = límite k → 0 F ( X ) − F ( X − k ) k
Pero k es solo un nombre variable, puede reemplazarlo por h ahora.

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