¿Qué son realmente las tasas de cambio "instantáneas"?

En matemáticas, hay intuición y hay rigor. Dicho

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h$$ es una afirmación rigurosa. Es muy formal. Decir "la derivada es la tasa de cambio instantánea" es intuitivo. No tiene ningún significado formal en absoluto. Muchas personas lo encuentran útil para informar sus instintos acerca de los derivados.

( Editar , no debo subestimar la importancia de los sentimientos viscerales. Deberá confiar en su instinto si alguna vez quiere probar cosas difíciles).

Dicho esto, no hay ninguna razón por la que debas encontrarlo útil. Si es demasiado esponjoso para ser útil para ti, está bien. Pero necesitará algo de intuición sobre lo que se supone que describen los derivados. Me gusta pensar en ello como "si entrecerrara los ojos con tanta fuerza que$f$se volvió lineal cerca de algún punto, entonces$f$se vería como$f'$cerca de ese punto." Encuentra algo que funcione para ti.

La idea detrás

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ es la pendiente de la gráfica $y=f(x)$.

Ahora por un momento olvídate de tu velocidad instantánea y piensa en tu velocidad promedio. ¿Qué es la velocidad media? Creo que la velocidad promedio es

$$\frac{x_f-x_i}{t_f-t_i}$$ . Ahora, si miras esto detenidamente, esta es mi pendiente pero en un intervalo de tiempo dado.

Entonces, podría preguntarse cuál es la diferencia entre la velocidad instantánea y la velocidad promedio. Ambos hablan de intervalos.

No, esa no es la idea aquí. Ahora bien, si hubiera sido un gráfico lineal, habría sido muy fácil calcular tu velocidad instantánea, pero en tu gráfico no es así. Aquí puede ver que la partícula (u objeto) está cambiando su velocidad en cada momento y eso se vuelve imposible de manejar. Entonces, para eliminar este elemento de duda, lo que hacemos es tratar de tomar el límite e intentar acercarnos al marco de tiempo e intentar encontrar la velocidad y llamarla velocidad instantánea.

Tasa instantánea de cambio en un punto, no en un intervalo

Puede describir la tasa de cambio sin ningún intervalo, en un punto específico . De hecho, tratar de involucrar un intervalo, incluso uno muy pequeño, es algo contrario al concepto. Si involucra un intervalo al describir una tasa de cambio, entonces estaría hablando de una tasa de cambio promedio . Por ejemplo, cuando las personas describen la velocidad (velocidad de cambio de posición) de un vehículo en un intervalo de 100 pies, normalmente estaría hablando de la velocidad promedio, suponiendo que no fuera constante durante todo el intervalo.

Por lo tanto, una tasa de cambio es siempre instantánea. Puede identificar cualquier punto que no tenga longitud/intervalo y decir cuál es la tasa de cambio en ese punto. La tasa de cambio instantánea es análoga a un punto.

Esto también ayuda a comprender por qué ciertos puntos tienen una tasa de cambio indefinida y por qué el concepto de "intervalo cada vez más pequeño" es algo engañoso.

Si intentara usar el concepto de intervalo muy, muy pequeño para identificar la tasa de cambio entre el punto p y el punto q muestreando un punto justo a la izquierda y derecha de p para definir un intervalo, entonces vería un cambio muy grande. Tal vez el punto p esté en la coordenada x 1.00, y definimos un intervalo de .99 a 1.01 y valores de muestra de .99,2 y 1.01,10. Esta sería una tasa de cambio de 400 y por x . Si hace que su intervalo sea cada vez más pequeño, su tasa de cambio parece acercarse al infinito, lo que de nuevo es muy engañoso, porque la tasa de cambio instantánea en p no está definida.

No intento descartar el concepto de intervalos como inútil, sino enfatizar que los intervalos muy pequeños son un concepto que no se puede aplicar con rigor . Ciertamente ayudan a comprender el concepto de derivadas, porque si tuvieras que imaginar que no sabes cuál es la tasa de cambio instantánea en un punto en particular, entonces tendrías que observar cuánto cambio ocurrió en un intervalo para poder para estimar la tasa de cambio. Ayuda a comprender cómo se "diseñaron" estas funciones.

No se observa ningún cambio, pero conocemos la TASA de cambio

Tomemos la velocidad instantánea, por ejemplo. Si es realmente instantáneo, entonces no hay cambio en x (tiempo), ya que no hay intervalo de tiempo.

¡Tienes toda la razón! No hay cambio de posición ya que no hay un intervalo definido. Sin embargo, en un punto específico, aún podemos describir cuál es la tasa de cambio instantánea, que es una forma de decir cuánto cambiará sise definió un intervalo. Imagina que congelamos un cuadro de una película donde alguien te dice que una bala acaba de salir de un barril a una velocidad instantánea de 300 metros/s. Eso no es difícil de entender, ¿verdad? Si alguien pregunta, sin tener en cuenta la resistencia del aire y la gravedad, ¿dónde estará esa bala dentro de dos segundos? Ahora que ha introducido un intervalo, y usando dos cosas, la posición inicial y la tasa de cambio instantáneo en esa posición, puede dibujar con confianza una línea a lo largo de la trayectoria de la bala y concluir que estará a 600 metros de distancia en esos dos segundos. Con base en esa información instantánea, podemos modelar para cualquier intervalo cómo cambiará la posición de esa bala. Podemos aplicar la velocidad instantánea en todo el intervalo solo porque supusimos que era constante en todo el intervalo.

Donde el cálculo viene al rescate es que a menudo tratamos con tasas de cambio no constantes. Sabemos en realidad que la bala se ralentizará debido a la resistencia del aire A(), y su trayectoria será un arco en lugar de una línea recta debido a la aceleración constante de la gravedad G() (que da como resultado una velocidad no constante). Si tenemos funciones que describen la resistencia del aire y la influencia de la gravedad en nuestra velocidad, entonces podemos describir las velocidades instantáneas no constantes en cualquier punto del intervalo completo. Dado que esos son puntos instantáneos y no son constantes, son algo inútiles. Podríamos usar el enfoque de "intervalo muy pequeño" de cambios de muestra en la posición para resumir todo el intervalo, pero dado que la velocidad cambia constantemente, estaríamos acumulando una gran cantidad de errores. P.ej si la velocidad inicial es de 300 m/s pero disminuye a 250 m/s después de medio segundo, ¿qué distancia recorrió la bala en medio segundo? Podría intentar promediar, pero eso supone un cambio lineal en la velocidad, lo que podría no ser el caso. Casi cualquier enfoque iterativo que tome que involucre pequeños intervalos introducirá errores.Sin embargo, con la ayuda del cálculo podemos incorporar de forma directa y precisa la influencia de A() y G() en nuestra velocidad no constante para calcular directamente el cambio de posición.

Más que un concepto

Además de ser una ayuda para comprender los conceptos, el concepto de "intervalo muy pequeño" se aplica a menudo en modelos computacionales donde los métodos directos no son factibles, quizás porque un algoritmo de computadora no puede determinar un método directo. Así es exactamente como se simula la física en muchos juegos de computadora. Cada iteración puede saber que han pasado 0,03 segundos y, en función de varias tasas de cambios (generalmente determinadas primero en función de las fuerzas que afectan), determinará qué ha cambiado a lo largo de ese intervalo. En ciertas situaciones, esto puede ser extremadamente impreciso, pero en otros casos, con intervalos lo suficientemente pequeños, puede ser lo suficientemente preciso para cumplir con los requisitos deseados.

Piensa en una montaña: a lo lejos es casi plana; cerca de la cima es más empinado.

Si preguntas "¿ Qué tan empinado es donde estoy parado ahora?" , estás preguntando exactamente lo mismo que "¿Cuál es la tasa de cambio de mi elevación con respecto a mi posición aquí?"

Siento que debería ser bastante intuitivo; eso es lo que significa tasa instantánea de cambio.

(Nota al margen: en este caso, puede moverse en dos direcciones independientes: norte/sur y este/oeste. Eso significa que hay una tasa separada de cambio de elevación para cada una de esas direcciones en cada posición posible en el suelo. Pero en En su caso, solo está tratando con el tiempo , que solo puede avanzar/retroceder y, por lo tanto, solo hay un número del que preocuparse en cada instante, no dos).

Como se indicó en la respuesta aceptada, la declaración en inglés es informal y existe solo para proporcionar intuición.

Eso no significa que no pueda ser refinado.

Si uno reformula a

Rate of change applying at a specific instant

entonces creo que esto es consistente con:

1. Una tasa de cambio que se define solo en intervalos.
2. Esos intervalos son arbitrariamente pequeños
3. Tenemos un valor único significativo para un instante dado, siempre que, por supuesto, exista el límite.

Voy a responder a su pregunta con una pregunta.

Estás conduciendo un coche. 60 millas por hora son 88 pies por segundo (lo cual es genial en sí mismo. ¿Miras un mensaje de texto durante medio segundo? Te moviste 44 pies). Ahora, cuando te pregunte dónde estabas en un segundo dado, podrías haber estado en cualquier lugar dentro de +/- 44 pies. Entonces dices "¿sobre qué 1/100 de segundo estás preguntando?" Pero 44 pies son 528 pulgadas, así que incluso si digo en el tiempo = 6,31 segundos después de las 2:30, solo sabes dentro de un rango de 10 pulgadas.

¿Puedes decirme con precisión dónde estás si estás en movimiento?

La tasa instantánea es un concepto de cálculo, pero debería ser comprensible para ti como la pendiente de una línea tangente.

La línea tangente a la parábola tiene una pendiente de 2. Aunque la "pendiente" es solo un punto.

Creo que la respuesta de @ZachStone ya expresa la esencia de tu pregunta.

Agregaría un punto de vista más físico/de ingeniería, porque llamas a la intuición, y en las matemáticas aplicadas, como generalmente se encuentra en la ingeniería, necesitas mucha intuición.

Como ejemplo concreto, consideremos la velocidad de un automóvil (o de cualquier punto de masa). Existe la velocidad promedio que se define de manera trivial y muy comprensible como:

$$v_m = \dfrac{\Delta s} {\Delta t}$$

La velocidad instantánea se define como el límite de esa relación cuando el intervalo de tiempo tiende a cero :

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta s} {\Delta t}$$

Por supuesto, si supieras una expresión matemática para s(t), podrías hacer todas tus operaciones matemáticas habituales, y eso está bien. Pero, ¿qué significa ese límite en las aplicaciones prácticas ? Significa que busca un valor de la "velocidad media" en un intervalo de tiempo "muy pequeño", donde "muy pequeño" significa "lo más pequeño posible en relación con la aplicación". Eso generalmente significa que$\Delta t$es tan pequeño que s puede considerarse constante durante ese intervalo de tiempo, porque el error de medición permisible es mayor que la variación de s durante ese intervalo.

En cierto sentido, aproximas tu movimiento a medida que avanzas: en cualquier instante de tiempo te dices a ti mismo "si tuviera que aproximar ahora el movimiento con un movimiento de velocidad constante, ¿qué velocidad tendría el automóvil?". La respuesta es "la velocidad instantánea" (que, como dije antes, se calcula aproximadamente como una velocidad promedio en un intervalo de tiempo "suficientemente pequeño").

Creo que esta pregunta debería pertenecer al meta, ya que es una pregunta entre el finitismo y el platonismo, pero trato de responderte lo mejor que puedo:

La línea divisoria donde un número$\epsilon$es lo suficientemente pequeño es cuando alguien te da un número$\delta>|x-c|>0$, existe$\epsilon>|f(x)-L|$, dónde$c$es un punto cerca$x$,$L$es el límite. Así que no necesitas pensar$h$como un intervalo, sino como un número.

En sentido aritmético, puedes sumar infinitos términos si siguen una regla que se puede construir matemáticamente: la serie geométrica es un buen ejemplo. La existencia de la integral es, por lo tanto, bastante natural.

Abordando su primera pregunta de una manera filosófica:

Digamos que existen eventos que suceden instantáneamente. Si existen, deben ser observadas. Para que suceda la observación, es necesario que transcurra el tiempo, por lo que podemos pensar en "instantáneo" como un evento que ocurre en el menor tiempo posible para que el evento realmente suceda.

Esto se dijo de otra forma en una respuesta diferente , pero pensé en decirlo de una manera que podría ser conceptualmente más fácil de entender:

La tasa de cambio instantánea en cualquier punto de una función es la pendiente de la línea que es tangente a la función en ese punto.

Si imagina una línea que intersecta dos puntos en una función arbitraria que están separados por una distancia arbitraria, y luego junta esos puntos, verá que la pendiente de la línea cambia dependiendo de la distancia entre ellos. Cuando los dos puntos están tan cerca que se vuelven uno, entonces la pendiente de la línea es igual a la tasa de cambio instantánea de esa función.

¿Por qué no decimos simplemente "aproximadamente un instante" para apaciguar nuestra intuición y luego definimos nuestra velocidad como una aproximación arbitrariamente cercana a la media?

Como un pequeño aparte, la 'cercanía' está ligada a tantos niveles superiores de Matemáticas. Tantas cosas cuelgan de él. Topología, análisis y similares para estar seguro. Entonces, como matemáticos, nos sentimos cómodos con la idea del límite como un valor definido para hacer que muchas otras cosas funcionen.

Siempre tengo en mente que ese denominador NO ES cero pero se acerca mucho a él. Y para mí, el límite es aferrarse a esa cercanía y rechazar la idea de que en realidad puede ser cero, porque no puede serlo.

La expresion$\dfrac{x^3-8}{x-2}$es indefinido en$x = 2$. Cuando$x = 2$usted obtiene$\dfrac 0 0$, que no está definido. Supongamos que decidimos definir el valor de$\dfrac{x^3-8}{x-2}$cuando$x = 2$. ¿Qué número tiene más sentido y por qué? Bien cuando$x \ne 2$podemos simplificar

$$\dfrac{x^3-8}{x-2} = \dfrac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{x-2}=x^2 + 2x + 4$$

y$x^2 + 2x + 4 = 12$cuando$x = 2$.

Si graficaste$y = \dfrac{x^3-8}{x-2}$obtendrías la gráfica de$y = x^2 + 2x + 4$. Dependiendo de qué tan bueno sea su software de gráficos, puede o no indicar que hay algo mal en$x = 2$, pero el punto$(2, 12)$en realidad falta. Llamamos puntos como este "discontinuidades removibles".

Tasa de cambio de una función$f(t)$entre un tiempo variable$t$y un tiempo fijo$a$parece$\dfrac{f(t) - f(a)}{t-a}$y te das cuenta que, si dejas$t=a$, usted obtiene$\dfrac 0 0$.

Gran parte del tiempo,$y = \dfrac{f(t) - f(a)}{t-a}$tiene una discontinuidad removible en$t = a$. Si el punto que falta es (a, A), entonces resulta que$\displaystyle lim_{t \to a}\frac{f(t)-f(a)}{t - a} = A$. El número A se llama "la derivada de$f(t)$en$t = a$y se describe como "la tasa instantánea de cambio de$f(t)$con respecto a$t$en$t=a$.

Lo que hace que Cálculo sea "útil" en el "mundo real" no es el formalismo sobre límites o infinitesimales ¹ . Es el hecho de que la mayoría de las funciones en el "mundo real" son relativamente fluidas y se comportan bien.

Tales funciones actúan linealmente si se acerca "lo suficiente"; actúan como pequeñas funciones lineales (bueno, funciones afines, lineales con un desplazamiento).

La derivada asocia cada punto en el dominio de una función (entrada válida) con una función lineal. Esto describe la "pendiente" en ese punto.

Si estás "lo suficientemente cerca" del punto, entonces la función lineal que te da la derivada es una buena aproximación a la función original.

Como las funciones lineales son ridículamente más fáciles de trabajar que otras funciones, esto facilita la comprensión de la función original. Incluso si nos vemos obligados a comprender un número infinito de tales funciones lineales para comprender una sola función no lineal (la familia de derivadas).

Si una función va de$\mathbb{R}$a$\mathbb{R}$, entonces las aplicaciones lineales tienen una biyección natural con elementos de$\mathbb{R}$-- así que en lugar de que la derivada devuelva una función, la denotamos como que devuelve un único valor real.

Si$f'(x) = g(x)$, entonces el mapa afín que se aproxima$f$cerca$x_0$es$h(x) = f(x_0) + g(x_0)*(x-x_0)$. La mayor parte de eso es aburrido, así que solo hablamos de$g(x_0)$.

En dimensiones superiores, el valor devuelto por "la derivada" es una función lineal de dimensión superior, que se representa mediante una matriz.

Estas funciones lineales están "garantizadas" para ser "útiles" si está lo suficientemente cerca del punto en cuestión. Qué tan cerca puede variar con la función en cuestión (ver los límites de error en los prefijos de la serie de Taylor).

Esta es la "pendiente en el punto" porque es difícil hablar del intervalo alrededor del punto donde es medio decente, pero sabemos que si hacemos que el área sea lo suficientemente pequeña, será bueno.

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¹ Hay múltiples formulaciones de cálculo que actúan sobre infinitesimales: el análisis analítico fluido o el análisis no estándar .

En él, en realidad hablas de puntos.$x+h$infinitesimalmente cerca de$x$y evaluar$\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}$. El resultado es la derivada de$f$.

el delta-$h$-- es más pequeño que todos los números reales clásicos. En un sentido,$x+h$está "todavía en$x$" (en lo que respecta a los números reales clásicos), pero en el análisis no estándar no es el mismo valor.

Bajo este formalismo, "en el punto" podría referirse a "en el punto, e infinitesimalmente cerca del punto".

Para hablar sobre la tasa de cambio instantáneo, primero debe tener una idea suficientemente no trivial de un instante . El punto principal del cálculo diferencial es desarrollar la idea de un instante, cómo hacer cálculos en instantes y cómo usar integrales para "sumarlos" todos.

En un sentido más preciso, la idea central es que en un punto puedes tener números que codifiquen lo que sucede cerca de ese punto.

El ejemplo más simple de esto es el significado de continuidad: si sabes$f(a) = b$, entonces también sabes que$f(c) \approx b$cuando sea$c \approx a$. Entonces, cuando trabaja con funciones continuas, saber lo que sucede en un punto en particular significa que también tiene una idea de lo que sucede cerca de ese punto. Otro ejemplo de algo que sabes es que$\lim_{x \to a} f(x) = b$.

La derivada es otro ejemplo de esto, y hay mucha evidencia circunstancial que la relaciona con una tasa de cambio. Por ejemplo:

• El teorema del valor medio, la aproximación diferencial y cosas similares le permiten usar una derivada para estimar una tasa de cambio. p.ej $$y - y_0 \approx (x - x_0) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}y}$$
• Puedo usar una integral para "acumular" las derivadas para producir un cambio real: $$\int_a^b f'(x) \mathrm{d}x = f(b) - f(a)$$
• Si traza la gráfica de la tasa de cambio (es decir, el cociente de la diferencia) de una función diferenciable entre$x_0$y$x$, hay un agujero que realmente no debería estar allí (en un sentido muy similar a como a uno le gustaría decir que$t/t = 1$). La derivada es el valor que llena ese hueco.
• En muchas circunstancias (todas ellas, cuando se tratan adecuadamente), se puede calcular una derivada formalmente mediante el procedimiento de escribir$(f(x) - f(x_0))/(x - x_0)$, haciendo simplificaciones para cancelar el denominador, luego haciendo la sustitución$x \to x_0$.

En lugar de atascarse en el hecho de que las herramientas de precálculo no logran expresar la idea de una tasa de cambio en la situación en la que se aplica la derivada, debería buscar cómo el método de usar derivadas le permite estudiar la idea de tasas de cambio en situaciones en las que las herramientas de precálculo no pudieron ayudar.

Llegué a aceptar la intuición de la pendiente de las derivadas hace mucho tiempo, cuando aprendí cálculo por primera vez. Nunca la entendí completamente, debo confesarlo, pero como resultó útil en tantas aplicaciones diferentes (particularmente en física), comencé a aceptar esa interpretación sin tener que pensar en ella después de cierto punto.

Fue cuando estudié cálculo un poco más formalmente que obtuve una mejor comprensión del concepto de límite y derivadas como un todo. El avance vino cuando entendí cómo funcionan las secuencias/series de números y sus puntos límite. Considere la siguiente suma infinita:

$$\begin{equation} 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... \end{equation}$$

El 'límite' de esta suma es igual a$2$. Ahora, obviamente, no puedes seguir sumando términos infinitos para obtener exactamente$2$, sin embargo, decimos (y lo decimos como un enunciado matemático adecuado, no como una expresión ambigua de nuestra intuición) que el límite de la secuencia es$2$.

La idea detrás del límite (en el caso de sucesiones/series) es que si sigues evaluando la sucesión con más y más términos, te acercarás más y más a$2$. No estarías 'convergiendo' a$\textbf{any other number}$otro que$2$. Llamamos$2$un punto límite de la sucesión.

De manera similar, cuando hablamos de tasas 'instantáneas', lo que estamos diciendo es que si calculamos la tasa con intervalos cada vez más pequeños, nos acercamos cada vez más al valor que llamamos tasa 'instantánea'. En realidad, nunca alcanzamos ese valor, pero nos acercamos más y más a él.

En cierto sentido, es como un valor 'sagrado' que su expresión siempre se esfuerza por alcanzar. Nunca puedes estar realmente seguro de ello, incluso si estudias el comportamiento de la expresión durante mucho tiempo. Como ejemplo, puede concluir que la secuencia que mostré arriba tiene un límite de$2.000000000001$, simplemente calculando el valor con más y más términos. Pero si fuera aún más lejos, descubriría que la distancia de la suma de$2.000000000001$comienza a aumentar después de un tiempo (suponga que llega al punto medio de$2.000000000001$y$2$, el verdadero límite; continuar con la evaluación de la suma de ahí en adelante lo llevaría más cerca de$2$, y por lo tanto más lejos de$2.000000000001$).

Así que ya ves, lo que pasa con el valor límite de una expresión es que no es una tarea fácil determinarlo simplemente estudiando la forma en que la expresión se comporta numéricamente (que es lo que la explicación intuitiva de 'instantáneo' puede hacerte creer) . Por eso la matemática de los límites es tan profunda. Puedes calcular el$\textbf{exact}$valor al que converge la expresión, independientemente de los "artefactos prácticos" como la precisión numérica. En realidad es un valor bastante elusivo, el límite de una expresión... pero tiene mucho significado.

Si continuara para siempre en la dirección del límite, se acercaría continuamente al valor límite (punto límite), pero nunca lo alcanzaría. Si pudiéramos medir la tasa en intervalos de longitud cada vez menor, nos acercaríamos al valor instantáneo, pero nunca obtendríamos una coincidencia exacta.