Definición de diferenciabilidad y derivada

Recientemente estoy aprendiendo la definición rigurosa de la derivada, así que ahora me encuentro con un problema. Aquí está la definición de derivada y la definición de diferenciabilidad.

Una verdadera función F se dice que es diferenciable en un punto a ∈ R si y solo si F se define en algún intervalo abierto I que contiene a y

F ′ ( a ) := límite h → 0 F ( a + h ) − F ( a ) h
existe En este caso F ′ ( a ) se llama la derivada de F en a

y

Dejar I ser un intervalo. Una función F : I → R se dice que es diferenciable en I si y solo si

F ′ ( a ) := límite X → a F ( X ) − F ( a ) X − a
existe y es finito para cada a ∈ I

Siento que la primera definición también se puede usar para la diferenciación

Dejar I ser un intervalo. Una función F : I → R se dice que es diferenciable en I si y solo si

F ′ ( X ) := límite h → 0 F ( X + h ) − F ( X ) h
existe y es finito para cada X ∈ I

Mi problema es ¿cuál es la diferencia entre estos dos? ¿Por qué hay dos fórmulas para una cosa?

en el caso de que I es abierto, las dos definiciones son equivalentes para definir diferenciabilidad para F : I → R .
@CSquared cuando I está cerrado fisr uno está mal?
no está mal, pero simplemente no está bien definido con la primera definición. en la respuesta de John Hughes, la función F que él define es un buen ejemplo. El límite del lado izquierdo no está definido en X = 0 , por lo que la primera definición no define una derivada allí.
@CSquared Lo tengo, pero ¿cuál es la mejor definición?
@CSquared Muchas gracias, útil
Mis disculpas, una definición no es más general que la otra, son esencialmente iguales, pero solo hay que tener cuidado con los extremos de los intervalos. Los límites pueden no existir allí usando las definiciones dadas. Una definición "mejor" o más inclusiva sería incluir límites unilaterales en los extremos para definir derivadas en los extremos de intervalos cerrados
La respuesta de @CSquared John Hughes es la misma gracias
@CSquared si ( 0 , 1 ) , F diferenciable según la 1ª definición ya que 0 , 1 no esta en el dominio es correcto?
si eso es correcto

Respuestas (2)

Hay dos definiciones porque estás definiendo dos cosas diferentes:

  1. F es diferenciable en el punto X .

  2. F es diferenciable en el intervalo I .

Si estuviera escribiendo el texto, definiría el primero y luego diría que F es diferenciable en I si por cada punto b ∈ I , F es diferenciable en b . No sé por qué su autor no hizo esto. Una peculiaridad (que puede depender de cómo el autor definió los límites) es que es posible (en la definición dada) que la función sea diferenciable en un intervalo cerrado I sin ser diferenciable en los puntos extremos. ¿Por qué? Porque tal vez no haya un intervalo abierto alrededor del punto final que esté completamente contenido en el dominio de F . [Si tener tal intervalo es una parte esencial de la definición de límite del autor, entonces probablemente debería haberse omitido de la definición de derivada.]

Como ejemplo, considere la función

F : [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] : X ↦ X .
Esto pasa a tomar los mismos valores que
gramo : R → R : X ↦ X
en cada punto X del intervalo unitario, pero F no está definido fuera de ese intervalo unitario, no obstante.

Como ejemplo de esta sutil distinción:

Para esta función, el límite en la segunda definición está bien definido** en X = 0 , por ejemplo, pero la función no es diferenciable en X = 0 (según la primera definición) porque F no está definido en ningún intervalo abierto que contenga X = 0 .

** al menos, está bien definido si la definición de "límite" es la que estoy pensando; puede ser que tu autor use algo diferente.

NB: La mayoría de la gente también requeriría "y es finito" como parte de la definición de diferenciabilidad; no está claro por qué su autor omitió eso.

gracias. ¿Puede indicar uno de esos intervalos (ejemplo)?
@Akalanka, algunos autores "aflojarán" la definición de diferenciabilidad al aceptar límites unilaterales en ejemplos como los anteriores. Pero, con la primera definición, la función F no es diferenciable en [ 0 , 1 ] ya que no es diferenciable en 0 o 1 . Sin embargo, es diferenciable en ( 0 , 1 ) . ¿Puedes ver por qué?

Reemplazar h con X − a en la primera definición para ver que las dos definiciones de límite de la derivada son equivalentes.

Una de sus definiciones es para diferenciabilidad en un punto y la otra para diferenciabilidad en un intervalo.

Pero por qué hay dos definiciones
Definición de diferenciabilidad y derivada
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