¿Son los límites tan increíblemente geniales como creo que son?

Question

¿Son los límites tan increíblemente geniales como creo que son?

tratando de ser bestial

Recientemente hice todas las matemáticas de límite, pero no pensé mucho en su significado. Pensé, está bien, es perfectamente razonable decir que, por ejemplo, como $x\to 1$ , $(\frac{x^2-1}{x-1})\to2$ . Sin embargo, más recientemente, creo que descubrí que los límites son mucho más útiles que eso. ¡El valor aproximado se puede reemplazar con la forma indeterminada en sí misma!

Por ejemplo, ¿cuál es la pendiente de un punto? Respuesta: $\frac{f(x+0)-f(x)}{0}=\frac{0}{0}$ . Hemos llegado a una forma indeterminada, ¿y qué? Solo usa límites: $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ . Es importante darse cuenta de que la pendiente de un punto es $\frac{f(x+0)-f(x)}{0}=\frac{0}{0}$ , y determinando la pendiente de un punto por $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ , estamos diciendo $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{0}{0}$ . ¡El valor aproximado se puede reemplazar con la forma indeterminada en sí misma! ...(i)

Si ese es el caso, ¿por qué no simplemente definimos $\frac{0}{0}$ y otras formas indefinidas/indeterminadas entonces? ¿Por qué mantener viva esta cosa "indefinida" en matemáticas (no digo que realmente lo hagamos; solo quiero estar seguro de que mi razonamiento es razonable; es por eso que estoy haciendo esta pregunta)? La definición será algo así como: "El valor de una forma indeterminada que se encuentra ingresando un valor en una función será el valor límite de la función en ese punto".... (ii)

Preguntas:

¿Tengo razón en (i) y (ii)? Si me equivoco en (i), ¿cómo se les permite a los matemáticos tomar la pendiente del punto como $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ cuando debería ser $\frac{f(x+0)-f(x)}{0}$ ?

Elchanán Salomón

el problema con

0 / 0

$0/0$ (y situaciones similares) es que puedes encontrar

f (x) \to 0

$f(x) \to 0$ y

g (x) \to 0

$g(x) \to 0$ dónde

f (x) / g (x)

$f(x)/g(x)$ converge a cualquier número que desee.

Pedro

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ en sí mismo no está definido porque podría ser cualquier número real (o complejo), porque

x \cdot 0 = 0

$x\cdot 0=0$ se mantiene para cada

x

$x$ . En un límite, la variable SE APROXIMA al valor dado, nunca ES el valor. Sin embargo, el límite, si existe, es exacto y no sólo una aproximación. En cuanto a la pendiente : Si

h = 0

$h=0$ , tenemos un solo punto y ninguna pendiente.

usuario947346

¿Conoces el significado de cantidades indeterminadas? Probablemente no, ya que está diciendo "¿por qué no simplemente definimos 0/0 y otras formas indefinidas/indeterminadas entonces?" 0/0 puede resultar en diferentes soluciones en diferentes casos. 0/0 puede ser cualquier cosa. ¿Ha resuelto tales problemas en los que la sustitución directa da como resultado la forma 0/0? ¿Ha tratado de saber por qué el mismo 0/0 produce diferentes soluciones en diferentes casos? ¿Cómo se puede definir 0/0?

tratando de ser bestial

@Prothala Sí, entiendo que el valor de

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ puede ser cualquier cosa. Mi definición beta permite

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ ser cualquier cosa: "El valor de una forma indefinida que se encuentra ingresando un valor en una función será el valor límite de la función en ese punto".

usuario947346

@tryingtobeastoic ¿Sabes que hay una diferencia entre cantidades indeterminadas y cantidades indefinidas? hay básicamente

7

$7$ Cantidades indeterminadas mientras que cualquier fracción donde el denominador es

0

$0$ es indefinido. He editado tu pregunta para corregir este error.

usuario947346

¡El valor aproximado se puede reemplazar con la forma indeterminada en sí misma! . Tu esta declaración parece ser incorrecta. Consideremos el ejemplo mencionado por usted en la pregunta.

lim_{x \to 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = 2

$\lim\limits_{x\to 1}(\frac{x^2-1}{x-1}) = 2$ Aquí su declaración es que el valor aproximado que es

2

$2$ puede ser reemplazada con la forma indeterminada que es

0 / 0

$0/0$ . ¿Crees que esto incluso tiene algún sentido? Para evitar estas cantidades indeterminadas, introdujimos el concepto de límites. No podemos reemplazar 2 con 0/0. Todo eso no tiene ningún sentido, creo.

usuario947346

Determinando la pendiente de un punto por

lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ , estamos diciendo

lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{0}{0}

$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{0}{0}$ . Su declaración this que se usa en el primer ejemplo también es incorrecta. ¿Cómo podemos decir

lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{0}{0}

$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{0}{0}$ ? Tenemos que evitar estas cantidades indeterminadas por el concepto de límite. En realidad, no puede comparar el valor límite de una función en un punto determinado, digamos

a

$a$ con el valor de la función en

a

$a$ que ni siquiera existe.

Respuestas (1)

¿Son los límites tan increíblemente geniales como creo que son?

el problema con $0/0$ (y situaciones similares) es que puedes encontrar $f(x) \to 0$ y $g(x) \to 0$ dónde $f(x)/g(x)$ converge a cualquier número que desee.
$\frac{0}{0}$ en sí mismo no está definido porque podría ser cualquier número real (o complejo), porque $x\cdot 0=0$ se mantiene para cada $x$ . En un límite, la variable SE APROXIMA al valor dado, nunca ES el valor. Sin embargo, el límite, si existe, es exacto y no sólo una aproximación. En cuanto a la pendiente : Si $h=0$ , tenemos un solo punto y ninguna pendiente.
¿Conoces el significado de cantidades indeterminadas? Probablemente no, ya que está diciendo "¿por qué no simplemente definimos 0/0 y otras formas indefinidas/indeterminadas entonces?" 0/0 puede resultar en diferentes soluciones en diferentes casos. 0/0 puede ser cualquier cosa. ¿Ha resuelto tales problemas en los que la sustitución directa da como resultado la forma 0/0? ¿Ha tratado de saber por qué el mismo 0/0 produce diferentes soluciones en diferentes casos? ¿Cómo se puede definir 0/0?
@Prothala Sí, entiendo que el valor de $\frac{0}{0}$ puede ser cualquier cosa. Mi definición beta permite $\frac{0}{0}$ ser cualquier cosa: "El valor de una forma indefinida que se encuentra ingresando un valor en una función será el valor límite de la función en ese punto".
@tryingtobeastoic ¿Sabes que hay una diferencia entre cantidades indeterminadas y cantidades indefinidas? hay básicamente $7$ Cantidades indeterminadas mientras que cualquier fracción donde el denominador es $0$ es indefinido. He editado tu pregunta para corregir este error.
¡El valor aproximado se puede reemplazar con la forma indeterminada en sí misma! . Tu esta declaración parece ser incorrecta. Consideremos el ejemplo mencionado por usted en la pregunta. $\lim\limits_{x\to 1}(\frac{x^2-1}{x-1}) = 2$ Aquí su declaración es que el valor aproximado que es $2$ puede ser reemplazada con la forma indeterminada que es $0/0$ . ¿Crees que esto incluso tiene algún sentido? Para evitar estas cantidades indeterminadas, introdujimos el concepto de límites. No podemos reemplazar 2 con 0/0. Todo eso no tiene ningún sentido, creo.
Determinando la pendiente de un punto por $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ , estamos diciendo $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{0}{0}$ . Su declaración this que se usa en el primer ejemplo también es incorrecta. ¿Cómo podemos decir $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{0}{0}$ ? Tenemos que evitar estas cantidades indeterminadas por el concepto de límite. En realidad, no puede comparar el valor límite de una función en un punto determinado, digamos $a$ con el valor de la función en $a$ que ni siquiera existe.

ryang · Answer 1

¿Cómo se les permite a los matemáticos tomar la pendiente del punto como $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ cuando debería ser $\displaystyle\frac{f(x+0)-f(x)}{0}$ ?

$\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h},$ llamado cociente de diferencias , es simplemente la pendiente de una línea recta, que a su vez es el cambio vertical dividido por el cambio horizontal, al comparar dos puntos distintos en la línea recta. De este modo, $h$ nunca es cero; simplemente no es significativo.

El punto es este: al calcular $f'(c),$ estamos tomando infinitas pendientes que pivotan sobre el punto de referencia $c;$ este 'pivote' se estabiliza a medida que se acercan los puntos de comparación $c;$ a medida que las pendientes se estabilizan correspondientemente, se asigna el mejor valor ideal a $f'(c).$

explique las soluciones de todas las preguntas formuladas por el interrogador.

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Pedro

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ryang

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