¿Qué significa realmente la derivada?

Como lo que más le gusta es la "sensibilidad", una forma de pensar en la derivada es "cuánto se alarga o se achica la función en un pequeño intervalo". Supongamos que la derivada de$f(x)$en$x=x_0$es$1/3$. Si toma un pequeño intervalo$(x_0-\delta,x_0+\delta)$que tiene ancho$2\delta$y poner todos esos valores en la función, luego su imagen (en el$y$-eje) es otro pequeño intervalo. El ancho de ese intervalo será de aproximadamente$(1/3)2\delta.$Cuanto menor sea el intervalo en el$x$-eje, cuanto más cerca sea el ancho del intervalo en el$x$-el eje será exactamente$1/3.$La derivada te dice que pequeños barrios de$x_0$se encoge por un factor de$1/3$cuando los empujas a través$f$.

Esta es una excelente pregunta, particularmente de alguien que solo lleva unas pocas semanas en cálculo.

La diferenciación es un intento de comprender las cosas que cambian a un ritmo variable. Comienza con la idea simple ilustrada por la fórmula

Cuando no te mueves a una velocidad constante, el problema es más difícil. Una piedra que cae cae cada vez más rápido. La gráfica de la función distancia versus tiempo es una curva que se vuelve más y más inclinada a medida que pasa el tiempo. En cualquier punto, la pendiente de la tangente te dice qué tan rápido caería la piedra si la gravedad dejara de funcionar repentinamente. La aceleración cesaría, pero la piedra no se hundiría en el aire. La función de distancia seguiría la recta tangente a partir de ese punto.

Eso plantea una pregunta: ¿la piedra que cae tiene una velocidad en algún instante en particular? Esa es Tu pregunta (1) y desconcertó a los griegos mucho antes del cálculo. Es una de las paradojas de Zenón.

La respuesta práctica es que Newton tenía que ser capaz de razonar correctamente sobre la velocidad instantánea para inventar su física, por lo que pensó en ella como la velocidad promedio en un intervalo de tiempo infinitesimalmente pequeño. Nunca aclaró qué significaba "infinitesimal", y sus contemporáneos lo criticaron por eso. Hoy evitamos los infinitesimales definiendo la velocidad instantánea como la velocidad promedio a la que se acerca cuando se calcula el promedio en intervalos de tiempo pequeños pero reales. Ese es el "límite del cociente de diferencia" en su libro de texto. (Por supuesto, eso solo aleja la cuestión filosófica de comprender qué significan "cerca de" y "límite". Algunos cursos de cálculo para principiantes abordan eso, algunos lo posponen para cursos más avanzados.

A un nivel más filosófico, el cálculo es "realmente" varias cosas. Imagina las respuestas a "¿qué son realmente los números y la aritmética?" Herramientas útiles para el comercio. Reglas para la resolución de problemas. Un sistema formal con axiomas y teoremas. Para algunas personas, hermosos patrones.

Puede dar el mismo tipo de respuestas para cálculo. Fue inventado para la física. Hay reglas para obtener las respuestas. Tiene definiciones y teoremas. Es hermoso.

Aquí hay una secuencia útil para definir las cosas (una vez que ya sepa qué son los límites, ya que el segundo punto a continuación los necesita):

• Para$h\ne0$, una secante de$x=a$a$x=a+h$en$y=f(x)$es la recta que une$(a,\,f(a))$a$(a+h,\,f(a+h))$. Su gradiente es indiscutible.
• El$h\to0$límite del gradiente de la secante es la derivada en$a$, denotado$f^\prime(a)$, o$\left.\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right|_{x=a}$. Podemos hacer esto una vez para cada elección de$a$, obteniendo así una función que es la derivada de la original. Para tomar un ejemplo sin duda familiar, $$y(x):=x^2\implies\underbrace{\left.\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right|_{x=a}=\lim_{h\to0}\frac{2ah+h^2}{h}=2a}_{\forall a}\implies\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=2x.$$
• la tangente en$x=a$es la línea a través$(a,\,f(a))$cuyo gradiente es la derivada en$a$.

Ahora repasemos sus opciones numeradas:

1. En los comienzos de la historia del cálculo, su primera objeción se produjo en una crítica de la diferenciación que utilizaba la frase "fantasmas de cantidades difuntas". En términos de los puntos anteriores, la respuesta es que la derivada es un límite de derivadas secantes, por lo que definimos la tangente en términos de eso, en lugar de hacer la tangente primero.
2. Este hecho es un corolario de nuestro enfoque de tangente final, no cómo definimos la derivada en primer lugar.
3. ¿Cómo cuantificaría la rapidez$f$cambios en$a$? Si$f$varía de$x=a$a$x=a+h$, el gradiente secante encontrará la objeción, "pero no sufre un cambio lineal entre estos valores de$x$; la función no es su propia secante". Pero si la$h\to0$límite existe, ese límite es arbitrariamente bien aproximado por gradientes secantes cuando$h$es lo suficientemente pequeño. Si no fuera así, los velocímetros no funcionarían.