Derivada en primer principio de una raíz cuadrada y conjugados

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Derivada en primer principio de una raíz cuadrada y conjugados

limites
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derivados
Matemáticas

maestro416

Estoy tratando de encontrar la derivada de la ecuación:

gramo (X) = \sqrt{X + 2} - 3 X^{2}

$g(x)=\sqrt {x+2}-3x^2$ . Puedo encontrar la solución muy bien usando la regla de la potencia, pero tengo problemas con los primeros principios.

Esencialmente, entiendo llegar tan lejos como

\underset{h \to 0}{límite} \frac{\sqrt{X + h + 2} - 3 (X + h)^{2} - \sqrt{X + 2} + 3 X^{2}}{h} .

$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt {x+h+2}-3(x+h)^2 -\sqrt {x+2}+3x^2}{h}.$ Desde aquí puedo expandirme a

\underset{h \to 0}{límite} \frac{\sqrt{X + h + 2} - 3 X^{2} - 6 X h - 3 h^{2} - \sqrt{X + 2} + 3 X^{2}}{h} .

$\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt {x+h+2}-3x^2-6xh-3h^2 -\sqrt {x+2}+3x^2}{h}.$ Pero luego me quedo atascado.

No estoy seguro si debo usar la regla conjugada ahora (pero entonces, ¿cómo aplicaría eso?) o si se supone que debo intentar simplificar.

La respuesta es $\dfrac{1}{2\sqrt {x+2}}-6x$ que obtuve usando la regla de la potencia.

Cualquier ayuda y orientación es apreciada.

Respuestas (3)

Derivada en primer principio de una raíz cuadrada y conjugados

JimmyK4542 · Answer 1

Comenzando desde donde te quedaste atascado, primero divide la fracción como:

\frac{\sqrt{X + h + 2} - \sqrt{X + 2}}{h} - \frac{(3 X^{2} + 6 X h + 3 h^{2}) - 3 X^{2}}{h}

$\frac{\sqrt {x+h+2}-\sqrt {x+2}}{h} - \dfrac{(3x^2+6xh+3h^2)-3x^2}{h}$

Para la primera fracción, multiplica la parte superior e inferior por el conjugado. Para la segunda fracción cancelar el $3x^2$ términos y factor:

\frac{(\sqrt{X + h + 2} - \sqrt{X + 2}) (\sqrt{X + h + 2} + \sqrt{X + 2})}{h (\sqrt{X + h + 2} + \sqrt{X + 2})} - \frac{(6 X + 3 h) h}{h}

$\frac{(\sqrt {x+h+2}-\sqrt {x+2})(\sqrt {x+h+2}+\sqrt {x+2})}{h(\sqrt {x+h+2}+\sqrt {x+2})} - \dfrac{(6x+3h)h}{h}$

Ahora, multiplica el numerador de la primera fracción, simplifica ambas fracciones y toma el límite como $h \to 0$ para obtener la respuesta.

Harish Chandra Rajpoot · Answer 2

Estoy tomando del paso que te atascaste

\underset{h \to 0}{límite} \frac{\sqrt{X + h + 2} - 3 X^{2} - 6 X h - 3 h^{2} - \sqrt{X + 2} + 3 X^{2}}{h}

$\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt {x+h+2}-3x^2-6xh-3h^2 -\sqrt {x+2}+3x^2}{h}$

= \underset{h \to 0}{límite} \frac{\sqrt{X + 2} {(1 + \frac{h}{X + 2})}^{1 / 2} - \sqrt{X + 2} - 6 X h - 3 h^{2}}{h}

$=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt {x+2}\left(1+\frac{h}{x+2}\right)^{1/2}-\sqrt {x+2}-6xh-3h^2 }{h}$ Usar expansión binomial

(1 + x)^{n} = 1 + n x + \dots

$(1+x)^n=1+nx+ \ldots$ dónde,

| x | < 1

$|x|<1$

= \underset{h \to 0}{límite} \frac{\sqrt{X + 2} (1 + \frac{1}{2} (\frac{h}{X + 2}) + o (h^{2})) - \sqrt{X + 2} - 6 X h - 3 h^{2}}{h}

$=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt {x+2}\left(1+\frac{1}{2}\left(\frac{h}{x+2}\right)+o(h^2) \right)-\sqrt {x+2}-6xh-3h^2 }{h}$

= \underset{h \to 0}{límite} \frac{\sqrt{X + 2} + \sqrt{X + 2} (\frac{1}{2} (\frac{h}{X + 2}) + o (h^{2})) - \sqrt{X + 2} - 6 X h - 3 h^{2}}{h}

$=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt {x+2}+\sqrt {x+2}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{h}{x+2}\right)+o(h^2) \right)-\sqrt {x+2}-6xh-3h^2 }{h}$

= \underset{h \to 0}{límite} \frac{\sqrt{X + 2} (\frac{1}{2} (\frac{h}{X + 2}) + o (h^{2})) - 6 X h - 3 h^{2}}{h}

$=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt {x+2}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{h}{x+2}\right)+o(h^2) \right)-6xh-3h^2 }{h}$

= \underset{h \to 0}{límite} \sqrt{X + 2} (\frac{1}{2} (\frac{1}{X + 2}) + o (h)) - 6 X - 3 h

$=\lim_{h\to 0}\sqrt {x+2}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+2}\right)+o(h) \right)-6x-3h$

= \sqrt{X + 2} (\frac{1}{2} (\frac{1}{X + 2}) + 0) - 6 X - 3 (0)

$=\sqrt {x+2}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+2}\right)+0 \right)-6x-3(0)$

= \frac{1}{2 \sqrt{X + 2}} - 6 X

$=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}-6x$

Grigori Ilizirov · Answer 3

\underset{h \to 0}{límite} \frac{gramo (X + h) - gramo (X)}{h}

$\lim_{h\to0}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}$

\underset{h \to 0}{límite} \frac{\sqrt{X + h + 2} + 3 (X + h)^{2} - \sqrt{X + 2} - 3 X^{2}}{h} = \frac{\sqrt{X + h + 2} - \sqrt{X + 2} - 3 X^{2} - 6 X h - 3 h^{2} + 3 X^{2}}{h}

$\lim_{h\to0}{\frac{\sqrt{x+h+2}+3(x+h)^2-\sqrt{x+2}-3x^2}{h}=\frac{\sqrt{x+h+2}-\sqrt{x+2}-3x^2-6xh-3h^2+3x^2}{h}}$

3 x^{2}

$3x^2$ se elimina, y

3 h^{2}

$3h^2$ es despreciable:

= \frac{\sqrt{X + h + 2} - \sqrt{X + 2} - 6 X h}{h} = \frac{\sqrt{X + h + 2} - \sqrt{X + 2}}{h} - \frac{6 X h}{h}

$=\frac{\sqrt{x+h+2}-\sqrt{x+2}-6xh}{h}=\frac{\sqrt{x+h+2}-\sqrt{x+2}}{h}-\frac{6xh}{h}$
ahora usando la regla conjugada

= \frac{(\sqrt{X + h + 2} - \sqrt{X + 2}) (\sqrt{X + h + 2} + \sqrt{X + 2})}{h (\sqrt{X + h + 2} + \sqrt{X + 2})} - 6 X = \frac{(X + h + 2) - (X + 2)}{h (\sqrt{X + h + 2} + \sqrt{X + 2})} - 6 X = \frac{h}{h (\sqrt{X + h + 2} + \sqrt{X + 2})} - 6 X

$=\frac{(\sqrt{x+h+2}-\sqrt{x+2})(\sqrt{x+h+2}+\sqrt{x+2})}{h(\sqrt{x+h+2}+\sqrt{x+2})}-6x=\frac{(x+h+2)-(x+2)}{h(\sqrt{x+h+2}+\sqrt{x+2})}-6x=\frac{h}{h(\sqrt{x+h+2}+\sqrt{x+2})}-6x$

= \frac{1}{(\sqrt{X + h + 2} + \sqrt{X + 2})} - 6 X

$=\frac{1}{(\sqrt{x+h+2}+\sqrt{x+2})}-6x$
y desde

h \to 0

$h\to0$ tenemos:

\frac{1}{2 \sqrt{X + 2}} - 6 X

$\frac{1}{2\sqrt{x+2}}-6x$

Derivada en primer principio de una raíz cuadrada y conjugados

maestro416

Respuestas (3)

JimmyK4542

Harish Chandra Rajpoot

Grigori Ilizirov

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