¿Por qué es útil la (co) homología y de qué manera?

Esta pregunta es extremadamente amplia, y se ha derramado mucha tinta sobre el tema de "por qué es útil la cohomología" (ver, por ejemplo, aquí , aquí , aquí , aquí , aquí , aquí , aquí o aquí , todo desde el primera página de resultados de Google para exactamente esa búsqueda).

Dicho esto, puedo responder a su pregunta sobre si siempre se debe usar en la forma en que describe (detectando la inexistencia de características topológicas al mostrar la inexistencia de características algebraicas): No. Hay muchos otros usos que no siguen este esquema.

Una visión moderna de la cohomología es que es testigo de las obstrucciones para resolver alguna ecuación.

Esto se ve más simplemente en De Rham Cohomology , donde queremos resolver una ecuación diferencial$df = g$. Resulta que localmente siempre podemos resolver esta ecuación, pero es posible que no podamos hacerlo globalmente. ¡La "obstrucción" para resolver esta ecuación también es topológica! Si nuestro espacio está simplemente conectado , siempre podemos resolverlo. De hecho, siempre podemos integrar una función definida en$\mathbb{C}$, decir. Pero hay buenas funciones definidas en el plano perforado que no tienen antiderivada global. El famoso ejemplo es$\frac{1}{z}$.

También nos puede interesar resolver la ecuación$f^2 = g$. Nuevamente, sabemos cómo hacer esto localmente, pero puede que no haya forma de resolverlo en todo el plano complejo a la vez. También nuevamente, encontramos que la obstrucción para resolver esta ecuación es cohomológica.

Como un ejemplo más algebraico, digamos que quieres resolver$x^n = y$en algún campo$k$. Entonces sabemos cómo resolver esta ecuación en algún cierre algebraico$\overline{k}$, y sabemos que una solución a esta ecuación en$\overline{k}$en realidad existe en$k$si y solo si esa solución es fijada por la acción del grupo galois $G$. Así que nos encontramos interesados ​​en la cohomología de$G$.

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Más concretamente, ¿cómo funciona esto? Bueno, si tenemos una asignación entre algunos objetos (en los ejemplos anteriores, las asignaciones fueron$d$,$(-)^2$, y$(-)^n$respectivamente) podemos "resolver" una ecuación exactamente cuando entendemos la imagen del mapeo.

Por ejemplo, podemos resolver$df = g$Exactamente cuando$g$está en la imagen de$d$, o$f^2 = g$cuando sea$g$está en la imagen de$(-)^2$, etc.

La idea clave es utilizar secuencias exactas para convertir la cuestión de estar en la imagen (que es difícil) en la cuestión de estar en el núcleo (que es comparativamente fácil). Las teorías de cohomología (y, en general, los funtores derivados ) nos dan acceso a secuencias exactas largas que podemos usar para verificar si una ecuación es (globalmente) resoluble.

Por ejemplo, deja$\mathcal{F}^\times$ser el haz de funciones holomorfas que no desaparecen en$\mathbb{C}$bajo la multiplicación. Entonces tenemos una sucesión exacta corta

$$0 \to \{ \pm 1 \} \to \mathcal{F}^\times \overset{(-)^2}{\to} \mathcal{F}^\times \to 0$$

Ahora nuestra función$g$es una sección de$\mathcal{F}^\times$, y queremos saber si es la imagen de una sección de$\mathcal{F}^\times$bajo$(-)^2$. Es decir, si podemos encontrar un$f$con$f^2 = g$.

Bueno, aplicamos la cohomología de la gavilla a esta secuencia exacta para obtener una secuencia exacta (larga)

$$0 \to H^0(\mathbb{C}, \{ \pm 1 \}) \to H^0(\mathbb{C}, \mathcal{F}^\times) \overset{(-)^2}{\to} H^0(\mathbb{C}, \mathcal{F}^\times) \to H^1(\mathbb{C}, \{ \pm 1 \}) \to \cdots$$

Aquí$H^0$de una gavilla son exactamente las secciones globales. Entonces$g$vive en la segunda copia de$H^0(\mathbb{C}, \mathcal{F}^\times)$. Queremos saber si se encuentra en la imagen de la primera copia, y podemos hacerlo comprobando si se encuentra en el kernel del mapa para$H^1(\mathbb{C}, \{ \pm 1 \})$. ¡Una de las cosas mágicas de la cohomología es que, en casos especiales, a menudo podemos calcular estos grupos de cohomología y los mapas entre ellos! Entonces, podemos usar esta maquinaria para verificar si existe una solución.

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Espero que esto ayude ^_^