¿Por qué grupos de cohomología?

La razón fundamental por la cual la cohomología es más poderosa es que la cohomología singular tiene una estructura de anillo natural sobre ellos. Si$\varphi$y$\psi$son$R$-valorado$m$y$n$-cochains en un espacio topológico$X$, entonces se puede definir un$(m+n)$cochain$\varphi \smile \psi$por

Este emparejamiento desciende a un emparejamiento$H^n(X;R) \times H^m(X; R) \to H^{n+m}(X;R)$sobre la cohomología. De este modo,$H^*(X;R) := \bigoplus_i H^i(X;R)$automáticamente tiene una estructura de anillo graduada.

La razón intuitiva es que la homología se trata de clases de equivalencia de cadenas en$X$, mientras que la cohomología se trata de clases de equivalencia de funciones con valor de anillo sobre cadenas en$X$. Las funciones se pueden multiplicar (multiplicar los valores por puntos) mientras que los simples no.

Esta estructura de anillo es un poderoso invariante. Por ejemplo,$\Bbb{CP}^2$y$S^2 \vee S^4$tienen los mismos grupos de (co)homología en todas las dimensiones. Sin embargo, no son homotópicos equivalentes ya que los anillos de cohomología integral difieren: Cuadrado de copa del generador de$H^2$en$H^*(S^2 \vee S^4) \cong H^*(S^2) \oplus H^*(S^4)$es cero, mientras que la taza cuadrada del generador de$H^2$en$H^*(\Bbb{CP}^2)$no es trivial.

(Tenga en cuenta que esto también prueba que el mapa de Hopf no es homotópico nulo, lo que demuestra$\pi_3(S^2)$no es trivial. De hecho, una generalización de esta idea es el invariante de Hopf.)

Cita de Elementos de topología algebraica de JR Munkres:

Una respuesta es que la cohomología aparece naturalmente cuando se estudia el problema de clasificar, hasta la homotopía, mapas de un espacio en otro. Otra es que la cohomología está involucrada cuando uno integra formas diferenciales en variedades. Otra respuesta más es [...] que los grupos de cohomología tienen una estructura algebraica adicional, la de un anillo, y que este anillo distinguirá entre espacios cuando los grupos mismos no lo hagan.

Otros han dado las primeras razones que surgieron históricamente y que se relacionan con un primer curso de topología algebraica. Pero surge otro punto desde una perspectiva más avanzada: la cohomología de haces tiene una definición natural usando resoluciones inyectivas, y estas existen en cualquier categoría de haces. Puede definir la homología de la gavilla mediante resoluciones proyectivas, pero estas no siempre existen. Consulte https://mathoverflow.net/questions/5378/when-are-there-enough-projective-sheaves-on-a-space-x

Entonces, la cohomología étale y otras cohomologías de funtores derivados son más naturales que las homologías correspondientes.

La cohomología aparece naturalmente. Muchos problemas se resuelven localmente y luego las soluciones locales se unen para construir soluciones globales, y la cohomología es la descripción precisa de cómo hacerlo.