Aplicaciones de la cohomología de grupos al álgebra

Aquí hay un ejemplo simple de la parte superior de mi cabeza. Se dice que un grupo es finitamente presentable si tiene una presentación con un número finito de generadores y relaciones. Esto, en particular, implica que$H_2(G)$es de rango finito. (Aquí también puede tomar sistemas de coeficientes no triviales). Entonces obtiene una buena condición necesaria para la presentabilidad finita.

La prueba de este hecho es simple. Si$G$se presenta finito, se puede construir un finito$2$-complejo que tiene$G$como su grupo fundamental. Para obtener un espacio Eilenberg-Maclane$K(G,1)$añades$3$-células para matar a todos$\pi_2$, luego agregas$4$-células para matar a todos$\pi_3$etc... Terminas construyendo un$K(G,1)$con un finito$2$-esqueleto.

Además de lo que dijo Grumpy Chirivía sobre la homología de grupo, aquí hay otra aplicación: en el campo de la pro-$p$-grupos tenemos que la cohomología de grupos es una herramienta extremadamente útil para determinar la estructura de un grupo, por ejemplo, encontrar el número de generadores y las relaciones de un pro-$p$-grupo:

Entonces el rango del generador$d(G) = \dim_{\mathbb{F}_p} H^1(G,\mathbb{F}_p)$y el rango de relación$r(G) = \dim_{\mathbb{F}_p} H^2(F, \mathbb{F}_p)$para un pro-$p$-grupo$G$.

Hay una desigualdad famosa descubierta por Golod y Shavarefich que vincula los números anteriores para hacer una afirmación de si un ( a priori infinito) pro-$p$-el grupo es de hecho finito. Este es un resultado muy hermoso y de gran alcance, ya que puedes encontrar muchas aplicaciones en la teoría de Galois. (Las palabras clave son: torre de campo de clase, campo de clase de Hilbert = extensión abeliana máxima no ramificada)