Intuición geométrica detrás de esta homotopía en cadena

Advertencia: utilice la notación Introducción a las variedades topológicas de Lee en lo que sigue.

Mi pregunta tiene que ver con la homotopía en cadena que aparece en la Introducción a las variedades topológicas de Lee y la Introducción a la topología algebraica de Rotman prueba que la inclusión

Induce un isomorfismo en homología singular.

Para todos$p\geq 0$. En primer lugar, una serie de definiciones.

Si$\alpha=A(v_0,\dots,v_p)$es un singular afín$p-$simplex en algún conjunto convexo$K\subseteq\mathbb{R}^n$y$w$es cualquier punto en$K$, definimos un singular afín$(p+1)-$símplex$w*\alpha$llamado el cono en$\alpha$de$w$por:

$$w*\alpha=w*A(v_0,\dots,v_p)=A(w,v_0,\dots,v_p)$$

Y extendemos este operador a cadenas afines por linealidad:$w*\big(\sum_{i\in I}n_i\alpha_i\big)=\sum_{i\in I}n_i(w*\alpha_i)$

Se demuestra una fórmula importante en ambas referencias, con respecto a la relación entre los operadores de contorno y cono.

Si$c$es una cadena afín, entonces

$$\partial(w*c)=c-w*\partial c$$

Es obvio que si$c$es un ciclo, la última fórmula se convierte en$\partial(w*c)=c$y Rotman llama a esto una fórmula de integración .

Posteriormente, ambos autores definen un operador$s$que manda afines$p-$cadenas en afines$p-$cadenas, llamado operador de subdivisión baricéntrico . Esto se hace por inducción:

Para$p=0$,$s=\text{Id}$

Suponer que$s$se ha definido para algunos$p\in\mathbb{N}$. Entonces, para cualquier afín$(p+1)-$símplex$\alpha:\Delta_p\longrightarrow\mathbb{R}^n$establecimos

$$s\alpha=\alpha(b_p)*s\partial\alpha$$

Dónde$b_p$es el baricentro del simplex singular estándar$\Delta_p$, y extendemos este operador a cadenas afines por linealidad:$s\big(\sum_{i\in I}n_i\alpha_i\big)=\sum_{i\in I}n_is\alpha_i$

Ahora, para extender este operador a cadenas singulares arbitrarias, tenga en cuenta que si$\sigma$es singular$p-$símplex en cualquier espacio$X$, entonces$\sigma=\sigma_{\#}i_p$, dónde$i_p:\Delta_p\longrightarrow\Delta_p$es el mapa de identidad considerado como un singular afín$p-$símplex en$\Delta_p$, y$\sigma_\#:C_\bullet(\Delta_p)\longrightarrow C_\bullet(X)$es el mapa de cadena obtenido del mapa continuo$\sigma$.

Así que la idea es que si tenemos una cadena singular$c$, luego aplicando sucesivamente el operador de subdivisión, obtendremos una cadena homóloga a$c$, pero cuyos simples tienen imágenes que yacen todas en elementos de$\mathcal{U}$.

Para probar esto, deberíamos encontrar una homotopía en cadena entre la identidad y el operador de subdivisión, es decir, un homomorfismo$h:C_p(X)\longrightarrow C_{p+1}(X)$tal que

Pero Lee y Rotman dan

Y extender a las cadenas por linealidad. Sin embargo, estoy luchando por entender qué intuición geométrica hay detrás de esta intrigante fórmula. Traté de dibujar lo que$h$parece cuando$\sigma=\text{Id}_{\Delta_1}$, pero es realmente difícil (¿imposible?) imaginar esto actuando sobre$2-$simplifica

En contraste con la homotopía en cadena que aparece en la prueba del axioma de homotopía, esta es realmente menos intuitiva y se basa en gran medida en lo que Rotman llama la fórmula de integración .

Entonces mis preguntas son

• ¿Cómo debemos entender geométricamente este mapa?$h$? ¿Cuál es la intuición geométrica que nos permite elegir esta homotopía de una buena cadena para nuestros propósitos?

• ¿Cómo debemos entender la fórmula?$\partial(w*c)=c-w*\partial c$? ¿Cuál es el significado de esta ecuación geométricamente hablando?

• ¿Cómo llegar a un mapa de este tipo en primer lugar? ¿Cómo se ha desarrollado históricamente este teorema?

Entiendo perfectamente ambas demostraciones, ya que los cálculos son fáciles de seguir; Solo me preocupa cómo este mapa no da una intuición a primera vista sobre la geometría involucrada.