Definición de homomorfismo de Poincaré

En la siguiente pregunta$H^i_c(M;G)$denota la cohomología de soporte compacto,$M$un$n-$variedad orientada y$G$un grupo abeliano.

La definición que tengo del homomorfismo de Poincarè$P_M : H^i_c(M;G) \longmapsto H_{n-i}(M;G)$es el siguiente:

La operación del producto cap.$\mu_K$define un homomorfismo$P_K: H^i(M,M\setminus K) \longmapsto H_{n-i}(M)$definido por$P_K(\alpha) = \alpha \frown \mu_K$.

Tomando dos compactos$K \subseteq L$y usando la naturalidad del producto cap tenemos un diagrama conmutativo

$$\require{AMScd} \require{cancel} \def\diaguparrow#1{\smash{\raise.6em\rlap{\ \ \scriptstyle #1} \lower.6em{\cancelto{}{\Space{2em}{1.7em}{0px}}}}} \begin{CD} && H_{i}(M,M\setminus L)\\ & \diaguparrow{i} @VV\bullet \frown \mu_L V \\ H^{i}(M,M\setminus K) @>>\bullet \frown \mu_K> H_{n-i}(M) \end{CD}$$

Tomando el límite directo sobre todos los compactos$K \subseteq M$hemos definido un mapa$P_M : H^i_c(M) \longmapsto H_{n-i}(M)$.

Entonces, según tengo entendido, el mapa de Poincaré parece el mapa inducido en el límite directo por este diagrama.

En las consecuencias del Teorema, encontré en mis notas la siguiente observación:

$P_M(\alpha) = \alpha \frown \mu_M$si$M$es compacto (soy consciente de que si$M$es compacto que existe una única clase en$H_n(M)$que respetan algunas propiedades de orientación).

Ahora mi pregunta es: ¿cómo sabemos que el mapa de Poincaré, que es el mapa inducido al tomar el límite directo, es en realidad el homomorfismo inducido al tomar el producto tope con la clase fundamental$\mu_M$?