¿Cómo es útil la cohomología de De Rham?

La explicación de una oración es que la cohomología en un espacio$X$responde a la pregunta de cuándo se pueden promover soluciones locales de un problema a soluciones globales; es decir, si puedes resolver un problema sobre cada elemento de una cubierta de$X$, ¿puede unir esas soluciones individuales para obtener una solución global?

Para la cohomología de De Rham, la primera cuestión es la de formas diferenciales cerradas frente a formas diferenciales exactas. Dada una forma cerrada$\omega$en una variedad suave y (digamos) compacta$X$, hay otra forma$\eta$con$d\eta = \omega$? La respuesta es fácil en un parche en forma de estrella de$X$: simplemente integrar. (Estoy pasando por alto la cohomología reducida frente a la no reducida, por lo que debe tener más cuidado con la dimensión de$\omega$para obtener una respuesta definitiva aquí.) Con un poco más de trabajo, la misma respuesta es válida para un parche de coordenadas difeomorfo a$\mathbb{R}^n$. Eso significa que sabemos la respuesta localmente en$X$, pero no está claro cómo proceder a una respuesta global. El ejemplo clásico es$\mathbb{R}^2\setminus{0}$, donde la forma

Aún así, la idea de formas diferenciales cerradas versus exactas puede parecer un poco arbitraria. Una forma de resolverlo es notar que el grupo de cohomología de De Rham$H^0(X)$es el espacio de funciones que son localmente constantes (ya que no hay (diferente de cero, supongo) formas de grado negativo). Bajo algunas suposiciones razonables sobre$X$, Eso significa que$H^0(X)$es solo el$\mathbb{R}$-espacio de componentes conectados de$X$. Los grupos superiores tienen ramificaciones topológicas similares que llevaría demasiado tiempo describir, pero el punto es que, a pesar de la cohomología de De Rham definida en términos de cierto conjunto de ecuaciones diferenciales, son fundamentalmente objetos topológicos.

Con ese fin, la respuesta a la pregunta de para qué sirven los grupos de cohomología de De Rham podría ser que son una forma particularmente útil y concreta de definir y calcular la cohomología de un espacio. Existen múltiples teorías de cohomología (no todas bien definidas para todos los espacios): cohomología singular, cohomología celular, etc. Debido a tonterías abstractas, estas construcciones generalmente coinciden en condiciones razonables en$X$. La breve explicación es que todos estos comienzan con el mismo$H^0$y satisfacer ciertos axiomas que obligan a los superiores$H^*$llegar a un acuerdo.

Explicaciones más rápidas y sencillas para las preguntas específicas que hizo:

1) Algunas aplicaciones variadas:

• La cohomología de De Rham es invariante bajo la equivalencia de homotopía (en la categoría suave), lo que nos permite probar fácilmente que dos variedades no son homomórficas ni homotópicas equivalentes. Además, la cohomología viene con una estructura de anillo que brinda una condición adicional para exigir la equivalencia.

• Los grupos de homotopía son difíciles de calcular; Los grupos de cohomología son generalmente mucho más fáciles. El teorema de Hurewicz establece que el grupo de homotopía y homología más bajo de un espacio razonable coincide si están en dimensión$\geq 2$; en dimensión$1$, tienes que abelianizar$\pi_1$primero. (Los grupos de homología generalmente se pueden obtener a partir de la cohomología mediante, por ejemplo, la dualidad de Poincaré).

• Grupos de homología racional (es decir,$\pi_* \otimes \mathbb{Q})$se puede obtener de$H_*(X) \otimes \mathbb{Q}$a través de modelos mínimos, bajo algunas restricciones leves en el espacio subyacente.

• Cerrado, simplemente conectado$4$-las variedades están determinadas por sus formas de intersección, que en el caso suave es similar al mapa$H^2(X) \otimes H^2(X) \to \mathbb{R}$definido por$(\alpha, \beta) \to \int_X \alpha \wedge \beta$. (Es solo "similar a" en parte porque la cohomología de De Rham se define naturalmente sobre$\mathbb{R}$, mientras que tenemos que trabajar de nuevo$\mathbb{Z}$aquí.) Con mucho trabajo, esto conduce a demostrar que existen variedades cerradas, simplemente conectadas, que no tienen una estructura uniforme.

• Para un espacio Eilenberg-MacLane$K(G, A)$con$A$abeliano, el mapa$f \to f^* \omega$para algunos específicos$\omega$da una biyección entre el espacio$[X, K(G, n)]$de mapas$X \to K(G, n)$módulo homotopía y$H^*(X, G)$. Esto lleva a la idea de clasificar espacios para paquetes vectoriales, y los paquetes sobre un espacio dado se pueden clasificar mediante cohomología. Este resultado también tiene consecuencias más profundas; por ejemplo, conduce a una prueba (aunque hay otras disponibles) de que todo cerrado, orientado$3$-variedad es el límite de algún compacto, orientado$4$-colector.

• Para grupos$G$y$A$con$A$abeliano, una extensión central de$G$por$A$es un grupo$E$para cual$A\subset Z(E)$y$E/A = G$. Estos grupos se clasifican por el segundo grupo-grupo de homología$H^2(G, A)$. La conexión con la cohomología de grupo y la cohomología topológica es que, por razones de absurdo abstracto,$H^*(G)$es precisamente$H^*(K(G, 1))$, con$K(G, 1)$el espacio de Eilenberg-MacLane arriba. (Ahora definitivamente estamos lidiando con, por ejemplo, topología singular en lugar de cohomología de De Rham, ya que no tenemos una estructura fluida conveniente a mano, pero el punto es que una pregunta abstracta sobre teoría de grupos se convierte en un problema sobre topología).

• En general, hay variedades de cohomología en álgebra conmutativa, teoría de números, física, etc. En algún punto, es como el concepto de integral: el ímpetu original y la aplicación más concreta puede ser calcular el área bajo una curva, pero hay tantas muchas aplicaciones en tantos campos diferentes que es difícil precisar una sola cosa que pueda señalar y decir que está diseñado. De manera similar, así como las integrales de Riemann son un primer paso concreto hacia una idea general de integración (que conduce a la integración de formas diferenciales, la integral de Lebesgue, etc.), la cohomología de De Rham es un tipo particular, útil y concreto de teoría de la cohomología.

2) Cinco son muchos ejemplos para dar, y no estoy seguro de qué es exactamente lo que está buscando aquí. Hay un montón de ejemplos en Hatcher (en el caso topológico en lugar del suave, pero el principio y los axiomas son efectivamente los mismos), y puede trabajar con el caso conocido del género$g$superficie cerrada y orientada.