Uso de la teoría de categorías en topología algebraica

La lista de posibles temas que usted proporciona varía en sus demandas categóricas desde relativamente ligeras (por ejemplo, topología diferencial) hasta bastante pesadas (por ejemplo, espectros, categorías de modelos). Entonces, una mejor respuesta podría ser posible si sabe más sobre el enfoque del curso.

Sin embargo, mi sesgo personal sobre la teoría de categorías y la topología es que, en su mayoría, solo debe aprender lo que necesita en el camino. El lenguaje de las categorías y el álgebra homológica fue inventado en gran parte por topólogos y geómetras que tenían en mente una necesidad específica y, en mi opinión, es muy esclarecedor aprender una abstracción al mismo tiempo que las cosas que se van a abstraer. Por ejemplo, los axiomas que definen una categoría de modelo probablemente parecerían una completa tontería si trata de mirarlos fijamente, pero parecen naturales y significativos cuando considera la estructura del modelo en la categoría de, digamos, conjuntos simpliciales en topología.

Entonces, si está pensando en comprar un libro sobre categorías y pasar un mes leyéndolo, creo que su tiempo podría emplearse mejor de otras maneras. Sería un poco como comprar un libro sobre teoría de conjuntos antes de tomar un curso sobre análisis real: el lenguaje de los conjuntos es ciertamente importante y relevante, pero probablemente pueda aprenderlo sobre la marcha. Muchos libros de topología están escritos con una actitud similar hacia las categorías.

Dicho todo esto, si tiene una razón particular para preocuparse por esto (por ejemplo, si le preocupa la persona que imparte el curso) o si es el tipo de persona que disfruta empujando los diagramas por sí mismos (algunas personas hacer), aquí hay algunas sugerencias. La teoría de categorías a menudo entra en la topología como una forma de organizar todo el álgebra homológica involucrada, por lo que no estaría de más repasar eso. Tal vez ya haya estado expuesto al lenguaje de las secuencias exactas y los complejos de cadenas; si no, ese sería un buen lugar para comenzar (aunque estará muy seco sin ninguna motivación). La cohomología grupal es un tema importante por derecho propio y podría ayudarlo a aprender un poco más del idioma en un entorno razonablemente familiar. Alternativamente,

Estoy de acuerdo con la muy buena respuesta de Paul Siegel, y me gustaría agregar una cosa que es demasiado larga para un comentario.

Dependiendo de la dirección que tome, la topología algebraica puede convertirse prácticamente en sinónimo de teoría de categorías superiores. Esto puede venir de múltiples maneras. Primero, la categoría de espacios topológicos tiene espacios como sus objetos, mapas continuos como sus morfismos, homotopías como sus 2-morfismos, homotopías entre homotopías como sus 3-morfismos, etc. esencialmente para establecer un marco general para estudiar categorías superiores que pueden (o no) parecerse a la de los espacios. Pero entonces, las categorías superiores en sí mismas también se parecen mucho a los espacios. En esta analogía, los funtores son como mapas continuos, las transformaciones naturales son como homotopías, etc. (El hecho de que existan estas dos formas totalmente distintas en que interactúan los espacios y las categorías realmente me sorprendió la primera vez que lo vi).

De todos modos, el punto es que si se dedica seriamente a la topología algebraica, es posible que eventualmente tenga que volverse muy amigable con la teoría de categorías y estar de acuerdo con el uso de frases ridículas y aterradoras como "homotopía izquierda extensión Kan" y demás. Parece que el uso de la teoría de categorías superiores en la topología algebraica va en aumento, por lo que es posible que en veinte años, los topólogos algebraicos no tengan más remedio que volverse versados ​​en todo esto. (Ciertamente no lo soy. Todavía no, al menos). Solo un aviso.

Los cuellos de botella parecen ser las categorías de teoría K y modelo. No puedo pensar en ninguna herramienta categorial que necesite para ninguno de los otros temas que no sean un subconjunto adecuado de los que se usan en estos dos. Entonces depende, como todo en matemáticas, de cuán profundo quieras llegar. Mi consejo sería tomar un libro sobre esos temas e intentar leerlo. Verás enseguida qué lenguaje categorial necesitas. La mayoría de los libros de topología destacan específicamente cualquier razonamiento categorial y muchos incluso incluyen un apéndice sobre la teoría de categorías.