Muestre que un homeomorfismo entre espacios topológicos X,YX,YX, Y induce un homomorfismo entre los grupos de cadenas singulares Cn(X),Cn(Y)Cn(X),Cn(Y)C_n(X), C_n(Y)

Question

Muestre que un homeomorfismo entre espacios topológicos X,YX,YX, Y induce un homomorfismo entre los grupos de cadenas singulares Cn(X),Cn(Y)Cn(X),Cn(Y)C_n(X), C_n(Y)

Matemáticas
Topología algebraica
homología-cohomología

usuario35687

Primero algunas definiciones:

Definición 1. El n-simple estándar viene dado por

Δ^{norte} = {(t_{0}, t_{1}, \dots, t_{norte}) \in R^{norte + 1} | \sum_{i = 0}^{norte} t_{i} = 1, t_{i} \geq 0, 0 \leq i \leq norte} .

$\Delta^n = \{(t_0, t_1, \ldots , t_n) \in \mathbb{R}^{n+1} \vert\sum_{i=0}^{n} t_i = 1, t_i \geq 0, 0 \leq i \leq n \}.$

Definición 2. Un n-simplejo singular en un espacio topológico $X$ es un mapa continuo

σ : Δ^{norte} \to X .

$\sigma\colon \Delta^n \rightarrow X.$

Definición 3. Una cadena n singular en $X$ es una combinación lineal formal finita

α = C_{1} σ_{1} + C_{2} σ_{2} + \dots + C_{metro} σ_{metro}

$\alpha = c_1\sigma_1 + c_2\sigma_2 + \cdots + c_m\sigma_m$ con

c_{i} \in Z

$c_i \in \mathbb{Z}$ ,

σ_{i}

$\sigma_i$ son n singulares - simples en

X

$X$ .

Dejar $C_n(X)$ sea el grupo de todas las cadenas n singulares en $X$ con la adición natural:

α_{1} + α_{2} := \sum_{i = 1}^{metro} (C_{i} + d_{i}) σ_{i} .

$\alpha_1 + \alpha_2 := \sum_{i=1}^{m}(c_i+d_i)\sigma_i.$

Dejar $X, Y$ ser espacios homeomorfos. Dejar $f:X \rightarrow Y$ Sea un mapa continuo.

Pregunta: Según los textos (p. ej. Topología algebraica de Hatcher ), podemos definir un homomorfismo inducido:

\tilde{F} : C_{norte} (X) \to C_{norte} (Y)

$\tilde{f}:C_n(X) \rightarrow C_n(Y)$

\tilde{F} (σ) = F σ

$\tilde{f}(\sigma) = f\sigma$

donde para cualquier n-simplex singular en $X$ , $\sigma:\Delta^n \rightarrow X$ , $f\sigma$ es un n-simplex singular en $Y$ $f\sigma:\Delta^n \rightarrow Y.$

Para cualquier combinación lineal $\Sigma_i a_i \sigma_i$ para $a_i \in \mathbb(Z), \sigma_i:\Delta^n \rightarrow X$ ,

\tilde{F} (Σ_{i} a_{i} σ_{i}) = Σ_{i} a_{i} \tilde{F} (σ_{i}) = Σ a_{i} F σ_{i}

$\tilde{f}(\Sigma_i a_i \sigma_i) = \Sigma_i a_i \tilde{f}(\sigma_i) = \Sigma a_i f \sigma_i$

¿Cómo podemos demostrar que esto es un homomorhismo?

Esto es lo que tengo hasta ahora:

Dejar $\sigma_1$ y $\sigma_2$ ser n-simples singulares en $X$ .

Entonces,

\tilde{F} (σ_{1} σ_{2}) = F (σ_{1} σ_{2})

$\tilde{f}(\sigma_1 \sigma_2) = f(\sigma_1 \sigma_2)$

y

\tilde{F} (σ_{1}) \tilde{F} (σ_{2}) = F (σ_{1}) F (σ_{2})

$\tilde{f}(\sigma_1) \tilde{f}(\sigma_2) = f(\sigma_1)f(\sigma_2)$

¿Cómo sabemos que estas expresiones son iguales?

Editar: la notación en estas expresiones no es tan precisa como la operación en los grupos $C_n(X), C_n(Y)$ es $+$ . Ver la respuesta de William.

(Por favor, dé una respuesta en términos de la teoría general de grupos y las cosas mencionadas en esta pregunta; es decir, por favor, nada de teoría de categorías).

Respuestas (1)

Muestre que un homeomorfismo entre espacios topológicos X,YX,YX, Y induce un homomorfismo entre los grupos de cadenas singulares Cn(X),Cn(Y)Cn(X),Cn(Y)C_n(X), C_n(Y)

Guillermo · Answer 1

Cualquier cadena $c\in C_n(X;\mathbb{Z })$ es una suma

\sum_{σ \in C (Δ^{norte}, X)} a_{σ} σ

$\sum_{\sigma \in C(\Delta^n, X)} a_\sigma \sigma$ dónde

C (Δ^{n}, X)

$C(\Delta^n, X)$ es el conjunto de funciones continuas de la

n

$n$ -símplex a

X

$X$ ,

a_{σ} \in Z

$a_\sigma \in \mathbb{Z}$ , y

a_{σ} = 0

$a_\sigma = 0$ para todos menos un número finito

σ

$\sigma$ .

Entonces sí $c_1 = \sum_\sigma a_\sigma \sigma$ y $c_2 = \sum_\sigma b_\sigma \sigma$ tenemos por definición

\begin{aligned} \tilde{F} (C_{1}) + \tilde{F} (C_{2}) & = \sum_{σ} a_{σ} F σ + \sum_{σ} b_{σ} F σ \\ = \sum_{σ} (a_{σ} + b_{σ}) F σ \\ = \tilde{F} (\sum_{σ} (a_{σ} + b_{σ}) σ) \\ = \tilde{F} (C_{1} + C_{2}) \end{aligned}

$\begin{align} \tilde{f}(c_1) + \tilde{f}(c_2) &= \sum_{\sigma} a_\sigma f\sigma + \sum_{\sigma} b_\sigma f\sigma\\ &= \sum_\sigma (a_\sigma + b_\sigma) f\sigma \\&= \tilde{f}(\sum_\sigma (a_\sigma + b_\sigma)\sigma) \\&= \tilde{f}(c_1 + c_2) \end{align}$

Sé que dijiste "ninguna teoría de categorías", pero en realidad es solo la propiedad universal del producto libre en la categoría de grupos abelianos. Si $S$ es un conjunto y $F(S)$ es el grupo abeliano libre generado por $S$ , y $G$ es cualquier grupo abeliano, entonces cualquier función $f\colon S \to G$ se extiende únicamente a un homomorfismo $\tilde{f}\colon F(S) \to G$ cuya fórmula es la misma que has escrito.

sí he conocido esa propiedad universal; Gracias por mencionarlo. Pregunta: cuando mostramos que algo es un homomorfismo, necesitamos mostrar $f(xy) = f(x)f(y) \all x,y \in X$ parece que solo lo estás mostrando para el específico $c_1, c_2$ en tu respuesta, es decir, elegiste $c_1, c_2$ no tener nada en comun $\sigma$ en su combinación lineal. ¿Tienes permiso para hacer eso? ¿Cuál es la cadena general? Gracias.

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usuario35687

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Guillermo

usuario35687

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