Sobre el significado de una combinación lineal de simplexes

Me cuesta un poco entender el concepto de cadena en Geometría/Topología, como combinación lineal de símplexes, y más aún entenderlo geométricamente (si es posible). Entonces, comencemos de manera simple.

Dejar Δ = [ a , b , C ] sea ​​el triángulo generado por los puntos a , b , C en nuestro espacio, tal que ∂ Δ es la cadena [ a , b ] + [ b , C ] − [ a , C ] .

Si interpretamos el límite ∂ Δ de este triángulo como "caminos", con una orientación, es fácil ver que ∂ Δ es la trayectoria poligonal que conecta a a C , con b entre. Ok, pero ¿qué pasa con la cadena? [ a , b ] + 2 [ b , C ] − 5 [ a , C ] , ¿cómo podríamos interpretarlo geométricamente?

Ahora, vamos a R norte ; considerando caminos continuos de la forma C i : [ 0 , 1 ] ⟶ R norte , ¿existe una forma intuitiva de entender las cadenas de la forma Γ = ∑ i norte i C i , con norte i ∈ Z ?

Desde mi punto de vista, los coeficientes integrales de Γ implica "cuantas veces" recorremos el camino C i , es decir, si Γ = 3 C 1 − C 2 + 2 C 3 , Viajamos 3 veces a lo largo C 1 , luego una vez a lo largo C 1 (en sentido contrario), y luego 2 veces a lo largo C 3 .

Mi objetivo es entender correctamente el Teorema de Stoke Generalizado, así como la versión homóloga del Teorema de Cauchy, y ambos requieren el lenguaje de las cadenas. ¡Gracias de antemano!

Respuestas (1)

Esto no es algo que debas tratar de pensar demasiado. No obstante, hay un par de formas simples y directas en las que me gusta pensar en la cadena 1 [ a , b ] + 2 [ b , C ] − 5 [ a , C ] .

Uno es casi puramente formal. Primero, unido al segmento orientado [ a , b ] observas un coeficiente flotante fantasmal 1 . Además, unido al segmento orientado [ b , C ] observas un coeficiente flotante fantasmal 2 . Y, unido al segmento orientado [ a , C ] , observas un coeficiente flotante fantasmal − 5 .

Otra forma espectral menos imaginativa podría ser así. Cuando miras de cerca el segmento orientado [ b , C ] en realidad observas 2 copias de él. Cuando miras de cerca el segmento orientado [ a , C ] en realidad observas − 5 copias de él, lo que nos lleva a la cuestión de qué significa una copia "negativa", pero tal vez usted puede pensar en esto como 5 anti-copias, donde una "anti"copia y una copia ordinaria se aniquilan entre sí sin dejar nada, al igual que − 5 y 5 suman nada. Finalmente, cuando miras de cerca el segmento orientado [ a , b ] no ves nada fuera de lo común en absoluto, solo 1 copia ordinaria.

Y tu punto de vista, contar cuantas veces hay que viajar, también está bien.

Ah, y aquí hay uno más: piense en cada símplex como una tubería y el coeficiente como la cantidad de fluido por unidad de tiempo que fluye a través de esa tubería. Entonces [ a , b ] + 2 [ b , C ] − 5 [ a , C ] es 1 unidad de fluido por unidad de tiempo fluyendo a lo largo [ a , b ] de a a b , 2 unidades de fluido por unidad de tiempo fluyendo a lo largo [ b , C ] de b a C , y 5 unidades de fluido por unidad de tiempo que fluye a lo largo [ a , C ] de C a a . Lo que me gusta de este punto de vista es que el límite de la cadena tiene sentido físico:

∂ ( [ a , b ] + 2 [ b , C ] − 5 [ a , C ] ) = 4 a − b − 3 C
significa que en a ves 4 unidades de fluido saliendo a borbotones por unidad de tiempo, y en b ve 1 unidad de fluido succionada hacia adentro por unidad de tiempo; y en C ves 3 unidades de fluido succionadas hacia adentro por unidad de tiempo.

(+1) aparentemente por la analogía fluida, que nunca antes había visto y definitivamente voy a comenzar a enseñarle a la gente. Entre nosotros, sin embargo, es realmente para Casper el simplex amigable (que es bastante parecido a cómo pienso en las cosas).
Muy buena respuesta, ayudó mucho, ¡muchas gracias! Esta analogía con el tubo aclara incluso los casos más abstractos (homología singular), si interpretamos nuestras cadenas como tubos "curvos" (en el caso de que las cadenas sean combinaciones de caminos, etc).
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