¿Por qué nos interesa la cohomología?

Un problema importante es la estructura multiplicativa que existe en la cohomología. Esto le permite distinguir espacios que tienen la misma homología. Como ejemplo, el$X:=\mathbb CP^2$y$Y:=S^2\vee S^4$. Entonces ambos$X$y$Y$son complejos CW con una celda en dimensiones$0$,$2$, y$4$. Por lo tanto, en ambos casos la homología con coeficientes integrales es$\mathbb Z$en grados$0$,$2$, y$4$y$0$en todas las demás dimensiones. Esto implica fácilmente que también los grupos de cohomología con coeficientes integrales son$\mathbb Z$en grados$0$,$2$, y$4$y$0$en todas las demás dimensiones. Sin embargo, por$X$el cuadrado de un generador de$H^2$es un generador de$H^4$, mientras que para$Y$este cuadrado es cero. (El resultado para$X$se sigue fácilmente, por ejemplo, del hecho de que el cuadrado de la forma Kähler en$\mathbb CP^2$es una forma de volumen, por$Y$es un poco obvio que no habrá relación entre$H^2$y$H^4$.)

Esto muestra que$\mathbb CP^2$no es homotopía equivalente a$S^2\vee S^4$, lo que a su vez implica que los dos mapas adjuntos$S^3\to S^2$utilizada para los dos espacios no puede ser homotópica, es decir, que la fibra de Hopf no es homotópica nula.

Otro problema es que, en algunas situaciones, el hecho de que la cohomología sea un funtor contravariante es extremadamente útil. Por ejemplo, para un grupo topológico$G$hay un espacio de clasificacion$BG$que lleva un principal$G$-manojo$EG\to BG$. Esto tiene la propiedad de que para cualquier espacio suficientemente agradable$X$cualquier paquete principal sobre$X$se puede escribir como un pullback$f^*EG$y$f^*EG\cong g^*EG$si y solo si$f$y$g$son homotópicos. Entonces, un paquete principal te da un mapa de clasificación$f:X\to BG$. Con este mapa, ahora se pueden retirar las clases de chomología de$BG$a las clases de cohomología en$X$. Las tesis están canónicamente asociadas al paquete, ya que los mapas homotópicos inducen el mismo retroceso en la cohomología. Esta es la versión topológica de la teoría de las clases características y no funcionaría con la homología.

Hay varios puntos elementales que se pueden hacer:

• Por otro lado, ¿por qué considerar sólo la homología? No veo por qué uno sería más natural que el otro (en realidad, para mí, la cohomología parece más natural porque estoy acostumbrado a temas en los que la cohomología aparece naturalmente).
• Hay teorías de cohomología que son claramente útiles y naturales y están relacionadas con la cohomología singular: la cohomología de Rham, la cohomología de grupo y la cohomología de Galois, la cohomología de gavilla, por ejemplo. A menudo aparecen cuando estás interesado en derivar un funtor exacto por la izquierda y no uno exacto por la derecha, lo cual... sucede.
• Hay teoremas de dualidad (todo tipo de variantes de la dualidad de Poincaré) que hacen uso de la cohomología, por lo que incluso si en última instancia estás interesado en la homología, estudiar la cohomología puede ser útil.
• La cohomología lleva naturalmente una especie de estructura de álgebra dada por el producto de taza, que es realmente útil en muchas situaciones.

Daré un ejemplo explícito proveniente del álgebra ya que esto es lo que mejor entiendo. Llevar$G$un grupo finito, y$X = K(G,1)$el correspondiente espacio de Eilenberg-MacLane (por lo que$\pi_1(X)=G$y$\pi_i(X)=0$si$i>1$). Entonces puedes escribir$H_n(G,A) := H_n(X,A)$y$H^n(G,A):= H^n(X,A)$para cualquier grupo abeliano$A$.

Este es un caso especial de homología/cohomología de grupo (a saber, el caso en el que$G$actúa trivialmente sobre$A$). Y aunque la homología de grupo es bastante útil (por ejemplo, el teorema de Hurewitz dice que$H_1(G,\mathbb{Z}) = G^{ab}$), la cohomología grupal aparece mucho más a menudo, por lo que la cohomología singular en este contexto es más útil.

Ahora, si no le interesan los grupos, es posible que no esté contento con eso, pero incluso si solo está interesado en la topología, claramente$X = K(G,1)$es un espacio interesante ya que es "el espacio que sólo tiene$\pi_1(X) = G$en su homotopía". Entonces entender los mapas$Y\to X$es claramente una pregunta natural.

Y si$G$es abelian tienes el resultado de que para cualquier complejo CW$Y$,$[Y,K(G,n)] \simeq H^n(Y,G)$, por lo que la cohomología singular (con coeficientes) clasifica los mapas en espacios de Elenberg-MacLane (hasta la homotopía).

a) La cohomología debe considerarse como un álgebra graduada conmutativa, por lo tanto, es un invariante más fino. Esto permite algunas definiciones bastante interesantes, por ejemplo, el invariante de Hopf.

b) Si$M$es una variedad de dimensión adecuada, entonces se tiene$b_{n-k}=b_k$para los números de Betti (probado a través de la dualidad de Poincaré, que implica cohomología). A veces es más fácil calcular la cohomología y usar los teoremas de dualidad para deducir información sobre la homología.

c) Clases de características

d) El teorema de de Rham, estableciendo vínculos con la cohomología geométrica diferencial.

e) La cohomología es un funtor representable.

f) (relacionado con c) Teoría de la intersección.

g) la cohomología suena más sofisticada que la homología, lo que permite que los plebeyos se jacten mejor