Un proyecto de trabajo sobre topología algebraica (con sabor categórico): sugerencias de temas.

Aquí hay algunas sugerencias

-Secuencias espectrales

La secuencia espectral de Serre en particular es una herramienta muy poderosa para calcular la homología, siempre que tenga una "fibración".$F \rightarrow E \xrightarrow \pi B$(una fibración es una noción muy general de haz de fibras) y ya sabes$H_*(B)$y$H_*(F)$puedes con el cálculo de la secuencia espectral de Serre$H_*(E)$en casos favorables, y si sabes$H_*(B)$y$H_*(E)$puedes trabajar hacia atrás para calcular$H_*(F)$. Recomendaría este tema si su exposición tiene que ser muy breve, ya que no necesita muchos conocimientos previos para comprender las secuencias espectrales. Aunque pueden ser difíciles de entender la primera vez que los ves. Hay una sección en Hatcher sobre secuencias espectrales.

-Cohomología de la gavilla

Esto es ciertamente de naturaleza categórica pero no está obviamente conectado a la homotopía, usted define y estudia la cohomología de la gavilla de una gavilla.$\mathscr F$sobre un espacio$X$. Una gavilla es una colección de grupos.$\mathscr FU$para todos abiertos$U \subset X$junto con mapas$\mathscr FU \rightarrow \mathscr F V$cuando sea$V$es un subconjunto de$U$. Para espacios localmente contráctiles la homología singular de$X$coincide con la cohomología de la gavilla de$X$con respecto a una gavilla específica.

-Teoría de la homotopía simplifical

Personalmente me gusta mucho este tema. Estudias "conjuntos simpliciales" que son una forma diferente de espacios, consisten en una secuencia de conjuntos$X_n$de$n-$simples y mapas de caras$X_i \rightarrow X_{i-1}$que te dicen como$i-$los simples están conectados a$(i-1)-$simples Con métodos de la teoría de la homotopía simplicial se puede probar que$H^i(X,G) = [X,K(G,n)]$cuando$X$es un$CW$-complejo. La "teoría de la homotopía simplicia" de Goerss-Jardines es un libro muy bueno para este tema.

Encontrará las demostraciones que busca en Heuts, Meier - Topología algebraica II . Además, en el mismo pdf hay una prueba de la representabilidad del funtor de cohomología, que es muy buena.

Otro tema que sería genial en mi humilde opinión es la equivalencia entre la categoría de modelo estándar de espacios topológicos y la de conjuntos simpliciales, que se trata en Dwyer, Spalinski - Homotopy Theories and Model Categories . Desafortunadamente, no sé si este último tema se puede tratar en una breve exposición y requeriría aprender un poco más de los que mencionas.

Déjame saber cómo van las cosas.

EDITAR: las secuencias espectrales son una gran idea, como sugirió el otro usuario. También están cubiertos en el primer pdf que mencioné, que brinda muchos ejemplos relevantes sobre cómo usarlos para calcular grupos de (co) homología y grupos de homotopía de un espacio que utiliza, por ejemplo, las torres de Postnikov.