¿La densidad lagrangiana es un funcional o una función?

La densidad lagrangiana es una función .

Considere los siguientes ejemplos:

Está claro que$A$es un funcional, porque por ejemplo

En su notación,$L$es funcional , porque dada una cierta configuración de campo, obtienes un número. Pero$\mathscr L$es una función , porque dada una cierta configuración de campo, obtienes otra función, no un número.

En algunos casos, como QED en la medida de Coulomb, es posible que desee incluir términos no locales en la densidad lagrangiana, lo que la convierte en una función de algunos de sus argumentos y funcional de los demás. Esta es una excepción a la regla anterior.

1. En el marco de la geometría diferencial , la construcción es la siguiente. Sea dada una variedad de espacio-tiempo orientable de 4 dimensiones$M$. Un campo es una sección.

   $$\phi~\in~\Gamma(E) \tag{1}$$ en un paquete $(E,\pi,M)$.

2. el lagrangiano$^1$4 formas$\mathbb{L}$es un mapa de paquete

   $$\begin{array}{rcl} J^1(M,E) &\stackrel{\mathbb{L}}{\longrightarrow}& \bigwedge^4T^{\ast}M \cr \searrow && \swarrow \cr &M&\end{array}\tag{2}$$ desde el principio$^2$ haz de chorro $J^1(M,E)$al paquete canónico sobre$M$.

3. En un gráfico de coordenadas locales$U\subseteq M$, la forma 4 de Lagrange es

   $$\left. \mathbb{L}\right|_U~=~{\cal L} ~\mathrm{d}^4x, \qquad \mathrm{d}^4x ~:=~\mathrm{d}x^0\wedge\mathrm{d}x^1\wedge\mathrm{d}x^2\wedge\mathrm{d}x^3, \tag{3}$$ dónde${\cal L}$es la densidad lagrangiana. En otras palabras, la densidad lagrangiana${\cal L}$transforma$^3$como una densidad bajo transformaciones de coordenadas generales del espacio-tiempo$M$.

4. La acción funcional $S:\Gamma(E)\to \mathbb{R}$Se define como

   $$S[\phi]~:=~\int_{M} (j^1\phi)^{\ast} \mathbb{L}.\tag{4}$$ Ver también, por ejemplo, este y este Phys.SE publicaciones.

5. Supongamos por simplicidad que$M$tiene un sistema de coordenadas definido globalmente$U\subseteq \mathbb{R}^4$, y solo use esto de ahora en adelante.

6. Además, supongamos por simplicidad que$\phi$es un campo escalar real . Entonces el espacio total es$E= M\times\mathbb{R}$, y el paquete$(E,\pi,M)$es un haz de líneas trivial .

7. Entonces el primer jetbundle

   $$J^1(M,E)~\cong~ T^{\ast}M \times \mathbb{R}\tag{5}$$ tiene$4+1+4=9$coordenadas $$(x^0,x^1,x^2,x^3;~ u;~ u_0, u_1, u_2, u_3).\tag{6}$$ En particular, la densidad lagrangiana $${\cal L}: U \times \mathbb{R}^5~\longrightarrow ~\mathbb{R} \tag{7}$$ es una función (densidad valorada) , cf. Pregunta del título del OP.

8. Tenga en cuenta que los físicos a menudo usan la misma notación para la densidad lagrangiana${\cal L}$y el retroceso$(j^1\phi)^{\ast} {\cal L}$, es decir, a menudo escriben

   $${\cal L}(x^0,x^1,x^2,x^3;~ u;~ u_0, u_1, u_2, u_3) \tag{8}$$ como $${\cal L}\left(x^0,x^1,x^2,x^3;~ \phi(x);~ \partial_0\phi(x), \partial_1\phi(x), \partial_2\phi(x), \partial_3\phi(x)\right). \tag{9}$$

--

$^1$La forma 4 de Lagrangiano$\mathbb{L}$y la densidad lagrangiana${\cal L}$no debe confundirse con el lagrangiano$L$. Más generalmente, el Lagrangiano$L$es una función (e igual a la densidad lagrangiana${\cal L}$) en mecánica de puntos; mientras que el lagrangiano$L$es un funcional en la teoría de campos. Ver también esta publicación de Phys.SE.

$^2$Hay una generalización directa a sistemas lagrangianos de orden superior en un espacio-tiempo (posiblemente no orientable)$M$de dimensión arbitraria.

$^3$Aquí estamos siendo un poco arrogantes acerca de si la ley de transformación jacobiana para una densidad debe incluir un valor absoluto o no. Esto no es un problema si el espacio-tiempo$M$es orientable.

En general, un funcional es un mapa.$V \to F$para un espacio vectorial$V$sobre un campo$F$. Tales funcionales viven en el espacio dual.$V^*$si son lineales.

$V$puede ser de dimensión infinita y si es algún espacio de funciones, entonces un funcional es un mapa de una función a algún escalar. Por ejemplo,

es un ejemplo de un mapeo funcional$f(x) \mapsto \int_0^1 f(x)^2 \, dx.$Esto no es lo mismo que la composición de funciones,$f \circ g = f(g(x))$que simplemente produce otra función. Ahora, la densidad lagrangiana de la forma,$\mathcal L (\phi, \partial_\mu \phi)$toma alguna función$\phi$y sus derivadas, y produce una función. Podríamos reemplazar la notación con variables ficticias y luego usar la composición para escribir esta operación de manera equivalente.

Por otro lado, la densidad lagrangiana en lugar de lagrangiana,

es funcional pero siempre que pienses en$t$como si se mantuviera fijo.

Ambos son correctos. Una función, en su sentido más general, asigna un dominio a un rango. En este sentido, un funcional es también una función; da la casualidad de que su dominio es un conjunto de funciones en lugar de números.