¿Cuál es el método adecuado para obtener las Ecuaciones de movimiento a partir de esta acción de giro superior?

Los resultados que estoy tratando de derivar se pueden encontrar en este documento, apéndice B. En clase, solo he tratado acciones que involucran un solo campo escalar, por lo que tratar con acciones de esta forma es bastante desconocido para mí. Por algún contexto estamos en piso$(2+1)$espacio dimensional de Minkovski y tienen el siguiente conjunto de campos bosónicos totalmente simétricos$\varphi^i=\{h_{\alpha(2s)},h_{\alpha(2s-4)}\}$dónde$s>1\in\mathbb{Z}$es el espín del campo sin masa. la notación$h_{\alpha(2s)}\equiv h_{\alpha_1\cdots\alpha_{2s}}=h_{({\alpha_1\cdots\alpha_{2s}})}$es la abreviatura de un campo totalmente simétrico con$2s$índices de espinor (es decir,$\alpha=1,2$).

Estoy tratando de derivar las ecuaciones de movimiento (EoM) para los casos de giro entero y medio entero. Sorprendentemente, puedo derivar las 5 ecuaciones, sin embargo, para obtenerlas, modifico el método. El fudge funciona consistentemente, pero no sé por qué. Es casi seguro que estoy haciendo esto de una manera muy incorrecta, por lo que me gustaría que alguien me indique el método correcto. Solo mostraré cómo obtengo una de las EoM (ecuación B.4a del caso de giro de enteros en el artículo), el resto funciona de manera muy similar. La acción correspondiente es

$$\begin{align}\mathcal{S}_s[\varphi^i]=\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})^s\int\text{d}^3x\bigg\{h^{\alpha(2s)}\square h_{\alpha(2s)}-\frac{1}{2}s(\partial^{\beta(2)}h_{\beta(2)\alpha(2s-2)})^2-(s-1)(2s-3)\bigg[\\ h^{\alpha(2s-4)}\partial^{\beta(2)}\partial^{\gamma(2)}h_{\beta(2)\gamma(2)\alpha(2s-4)}+4\frac{s-1}{s}h^{\alpha(2s-4)}\square h_{\alpha(2s-4)}+\frac{1}{2}(s-2)(2s-5)(\partial^{\beta(2)}h_{\alpha(2s-6)\beta(2)})^2\bigg]\bigg\}.\end{align} \tag{B.3}$$

Aquí$\square=\partial^a\partial_a=-\frac{1}{2}\partial^{\beta(2)}\partial_{\beta(2)}$y la notación de la siguiente forma significa$(\partial^{\beta(2)}h_{\beta(2)\alpha(2s-2)})^2= (\partial^{\beta(2)}h_{\beta(2)\alpha(2s-2)})(\partial_{\gamma(2)}h^{\gamma(2)\alpha(2s-2)})$. Me parece que se obtienen las dos EoM's dadas variando cada campo$\varphi^i$independientemente. Entonces obtendré la EoM que corresponde a una variación en$\varphi^1$, en cuyo caso, afortunadamente, los términos 4 y 5 del integrando no contribuyen. Entonces, solo necesito considerar los primeros tres términos, haré cada término por separado y los etiquetaré.$I_i=I_1,I_2,I_3$para facilitar la referencia. El primer fudge viene desde el principio;

$$\delta\big[I_1\big]=\delta\big[h^{\alpha(2s)}\square h_{\alpha(2s)}\big]=\delta h^{\alpha(2s)}\square h_{\alpha(2s)}+h^{\alpha(2s)}\square \delta h_{\alpha(2s)}=2\delta h^{\alpha(2s)}\square h_{\alpha(2s)}.$$ No sé por qué (/si) la última igualdad debería mantenerse, pero hacer el mismo truco funciona para las 5 EoM. Ahora para el próximo término; $$\delta\big[I_2\big]=\delta\big[-\frac{1}{2}s(\partial^{\beta(2)}h_{\beta(2)\alpha(2s-2)})^2\big]=-s(\partial^{\beta(2)}h_{\beta(2)\alpha(2s-2)})(\partial_{\gamma(2)}\delta h^{\gamma(2)\alpha(2s-2)})$$ Aquí viene el siguiente (y último) fudge, creo que la idea es correcta, pero no la estoy ejecutando de manera rigurosa, en absoluto. La idea es integrar por partes y acabar con la variación en la frontera; $$\begin{align}\int\text{d}^3x\delta[I_2]&=-s\underbrace{\big[\partial^{\beta(2)}h_{\beta(2)\alpha(2s-2)}\delta h^{\gamma(2)\alpha(2s-2)}\big]^{x_f}_{x_i}}_{=~0, \text{variation vanishes at boundaries}}+s\int\text{d}^3x(\partial_{\gamma(2)}\partial^{\beta(2)}h_{\beta(2)\alpha(2s-2)})(\delta h^{\gamma(2)\alpha(2s-2)})\\ &=s\int\text{d}^3x\delta h^{\alpha(2s)}\partial^{\beta(2)}\partial_{\alpha(2)}h_{\beta(2)\alpha(2s-2)}. \end{align}$$ En la segunda línea, acabo de volver a etiquetar y reorganizar los índices de manera apropiada. Para mí, el término que se evalúa en los límites realmente no tiene sentido ya que este es el único lugar hasta ahora donde hay índices libres, pero no pude evitarlo. He leído que en tales situaciones es posible usar el teorema de Stokes/Gauss y asumir que los campos desaparecen en el límite, o algo así. El tercer término implica ambos campos. $\varphi^1$y $\varphi^2$, pero creo que estoy justificado en solo variar el $\varphi^1$campo; $$\begin{align}\delta\big[I_3\big]&=\delta\big[-(s-1)(2s-3)h^{\alpha(2s-4)}\partial^{\beta(2)}\partial^{\gamma(2)}h_{\beta(2)\gamma(2)\alpha(2s-4)}\big]\\ &=-(s-1)(2s-3) h^{\alpha(2s-4)}\partial^{\beta(2)}\partial^{\gamma(2)}\delta h_{\beta(2)\gamma(2)\alpha(2s-4)}. \end{align}$$
Ahora integro por partes dos veces, y asumo que no solo se desvanecen las variaciones en el límite, sino también la derivada de las variaciones se desvanece en el límite (¿otro truco?); $$\begin{align} \int\text{d}^3x\delta I_3 &=-(s-1)(2s-3)\int\text{d}^3x h^{\alpha(2s-4)}\partial^{\beta(2)}\partial^{\gamma(2)}\delta h_{\beta(2)\gamma(2)\alpha(2s-4)}\\ &=-(s-1)(2s-3)\bigg\{\underbrace{\big[h^{\alpha(2s-4)}\partial^{\gamma(2)}\delta h_{\beta(2)\gamma(2)\alpha(2s-4)}\big]^{x_f}_{x_i}}_{=~0}-\int\text{d}^3x\partial^{\beta(2)}h^{\alpha(2s-4)}\partial^{\gamma(2)}\delta h_{\beta(2)\gamma(2)\alpha(2s-4)}\bigg\}\\ &=(s-1)(2s-3)\bigg\{\underbrace{\big[\partial^{\beta(2)}h^{\alpha(2s-4)}\delta h_{\beta(2)\gamma(2)\alpha(2s-4)}\big]^{x_f}_{x_i}}_{=~0}-\int\text{d}^3x\delta h_{\beta(2)\gamma(2)\alpha(2s-4)}\partial^{\beta(2)}\partial^{\gamma(2)}h^{\alpha(2s-4)}\bigg\}\\ &=-(s-1)(2s-3)\int\text{d}^3x\delta h^{\alpha(2s)}\partial_{\alpha(2)}\partial_{\alpha(2)}h_{\alpha(2s-4)}. \end{align}$$ Poniendo los tres términos juntos da $$\delta\mathcal{S}_s[\varphi^1]=\int\text{d}^3x\delta h^{\alpha(2s)}\bigg\{2\square h_{\alpha(2s)}+s\partial^{\beta(2)}\partial_{\alpha(2)}h_{\beta(2)\alpha(2s-2)}-(s-1)(2s-3)\partial_{\alpha(2)}\partial_{\alpha(2)}h_{\alpha(2s-4)}\bigg\}.$$ Establecer la variación en la acción igual a cero da la EoM requerida: $$\square h_{\alpha(2s)}+\frac{1}{2}s\partial^{\beta(2)}\partial_{\alpha(2)}h_{\beta(2)\alpha(2s-2)}-\frac{1}{2}(s-1)(2s-3)\partial_{\alpha(2)}\partial_{\alpha(2)}h_{\alpha(2s-4)}=0.$$ Siento que el enfoque que estoy tomando va en la dirección correcta, ya que me da la EoM correcta no solo en este caso sino también en los otros 4, sin embargo, creo que está muy mal ejecutado y es descuidado. Disculpas por la extensión de la publicación, pero quería mostrarte cómo estaba abordando el problema para que sea más fácil ver dónde me estoy equivocando.

EDITAR

Ahora veo por qué se mantiene el primer 'fudge'... al integrar por partes, ahora no escribiré los términos de los límites, ya que podemos suponer que los campos se desvanecen en el infinito. Entonces el primer truco es cierto por lo siguiente;

$$\begin{align}\int\text{d}^3x \delta [h^{\alpha(2s)}\square h_{\alpha(2s)}] &=\int\text{d}^3x \bigg\{\delta h^{\alpha(2s)}\square h_{\alpha(2s)}+ h^{\alpha(2s)}\square \delta h_{\alpha(2s)}\bigg\}\\ &= \int\text{d}^3x \bigg\{\delta h^{\alpha(2s)}\square h_{\alpha(2s)}- (\partial^ah^{\alpha(2s)})(\partial_a \delta h_{\alpha(2s)})\bigg\} \\ &=\int\text{d}^3x \bigg\{ \delta h^{\alpha(2s)}\square h_{\alpha(2s)}+(\partial^a\partial_ah^{\alpha(2s)})\delta h_{\alpha(2s)}\bigg\}\\ &=\int\text{d}^3x \bigg\{ \delta h^{\alpha(2s)}\square h_{\alpha(2s)}+(\square h^{\alpha(2s)})\delta h_{\alpha(2s)}\bigg\}\\ &=\int\text{d}^3x \bigg\{2 \delta h^{\alpha(2s)}\square h_{\alpha(2s)}\bigg\}\end{align}$$ donde he integrado por partes dos veces y los índices latinos son índices de Lorentz.

Preguntas restantes para la recompensa:

Todavía no estoy seguro de cómo escribir los términos de contorno al integrar por partes sin tener índices libres donde no deberían estar. Además, no estoy seguro de si la razón de nuestra capacidad para eliminar los términos de los límites es que la variación en los campos se desvanece en el infinito o el propio campo se desvanece en el infinito... creo que es lo último, ya que ahora es un Lagrangiano densidad y la integral es sobre todos los índices de espacio-tiempo de$-\infty$a$\infty$.