¿Utiliza derivadas parciales o covariantes al derivar ecuaciones de una teoría de campos?

I) Suponiendo que el problema variacional de la acción$S=\int \! d^nx~{\cal L}$está bien planteada (con las condiciones de contorno apropiadas), las ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) de la teoría de campos se leen en general

$$\tag{1} 0~\approx~\frac{\delta S}{\delta \phi^{\alpha}} ~=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \phi^{\alpha}} -\sum_{\mu} \frac{d}{dx^{\mu}} \frac{\partial {\cal L}}{\partial (\partial_{\mu}\phi^{\alpha})} + \sum_{\mu\leq \nu} \frac{d}{dx^{\mu}} \frac{d}{dx^{\nu}} \frac{\partial {\cal L}}{\partial (\partial_{\mu}\partial_{\nu}\phi^{\alpha})} - \ldots,$$

donde el$\approx$símbolo significa igualdad módulo eoms, y los puntos suspensivos$\ldots$denota posibles términos derivados superiores. Tenga en cuenta que la derivada del espacio-tiempo

$$\tag{2} \frac{d}{dx^{\mu}}~=~ \frac{\partial }{\partial x^{\mu}} +\sum_{\alpha}(\partial_{\mu}\phi^{\alpha})\frac{\partial }{\partial \phi^{\alpha}} + \sum_{\alpha, \nu} (\partial_{\mu}\partial_{\nu}\phi^{\alpha})\frac{\partial }{\partial (\partial_{\nu}\phi^{\alpha})} + \ldots$$

es la derivada total del espacio-tiempo en lugar de una derivada parcial del espacio-tiempo.

La versión (1) de las ecuaciones EL es la formulación básica de las ecuaciones EL, que siempre funciona. La ecuación (1) se cumple incluso para teorías no covariantes.

II) Ahora, imponiendo más condiciones a la teoría, tales como,

• debe ser covariante en el sentido apropiado (por ejemplo, covariante de calibre, o covariante general bajo cambio de coordenadas),

• las apariciones de derivadas del espacio-tiempo en el Lagrangiano deben estar mínimamente acopladas a través de derivadas covariantes,

• etc,

a menudo es posible derivar versiones de las ecuaciones EL donde las derivadas del espacio-tiempo$\partial_{\mu}$y$\frac{d}{dx^{\mu}}$han sido reemplazadas por contrapartes derivadas covariantes del tipo apropiado (por ejemplo, derivadas covariantes de tipo de calibre o de tipo de gravedad).