¿Ecuación funcional de Cauchy-Riemann?

No debe verificar las ecuaciones de Cauchy-Riemann ya que no se cumplirán; ese funcional no es holomorfo ya que contiene explícito$\phi^\dagger$s. Por eso es necesario imponer ambos $\frac{\delta S}{\delta \phi(x)} = 0$ y $\frac{\delta S}{\delta \phi^\dagger(x)} = 0$. En el caso holomorfo la segunda ecuación vendría gratis.

La forma en que le doy sentido es pensar en$\frac{\delta}{\delta\phi(x)},\frac{\delta}{\delta\phi^\dagger(x)}$como abreviatura de$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\delta}{\delta\varphi(x)} \mp i \frac{\delta}{\delta\chi(x)}\right)$. Puedes reconstruir las derivadas reales como:

$$\frac{\delta}{\delta\varphi(x)} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\delta}{\delta\phi(x)} + \frac{\delta}{\delta\phi^\dagger(x)}\right), \qquad \frac{\delta}{\delta\chi(x)} = \frac{i}{\sqrt{2}}\left(\frac{\delta}{\delta\phi(x)} - \frac{\delta}{\delta\phi^\dagger(x)}\right).$$ Por lo tanto, la condición para un punto estacionario,$\frac{\delta S}{\delta\varphi(x)} = \frac{\delta S}{\delta\chi(x)} = 0$es equivalente a exigir$\frac{\delta S}{\delta\phi(x)} = \frac{\delta S}{\delta\phi^\dagger(x)} = 0$. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann exigirían que$\frac{\delta S}{\delta\phi^\dagger} = 0$en todos lados.

Notacionalmente, esto es más fácil con el cálculo ordinario para funciones de dos variables, con$z = \frac{x + i y}{\sqrt{2}}$. Los mismos principios se aplican al caso funcional. Con una función holomorfa, podemos hablar de la derivada ordinaria$\frac{df}{dz}$. Con una función no holomorfa podemos hablar de las derivadas parciales$\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_\bar{z}$y$\left(\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\right)_z$, que se definen como$\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y \mp i \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_x \right)$. La idea de cambiar$z$mientras lo esté agarrando$\bar{z}$constante suena ridículo, por lo que pensar en ellos como una forma abreviada como esta fue la forma más simple[*] en que pude darle sentido al concepto.

Tenga en cuenta que la regla de la cadena todavía funciona con estos operadores diferenciales:

$$df = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y dx + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_x dy = \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_\bar{z} dz + \left(\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\right)_z d\bar{z}.$$ Además,$\left(\frac{\partial z}{\partial z}\right)_\bar{z} = \left(\frac{\partial \bar{z}}{\partial \bar{z}}\right)_z = 1$y$\left(\frac{\partial \bar{z}}{\partial z}\right)_\bar{z} = \left(\frac{\partial z}{\partial \bar{z}}\right)_z = 0$. Esto significa que use estos divertidos operadores diferenciales de la misma manera que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes.

[*]: Hay otra forma de pensar sobre esto que es más complicada, pero probablemente más correcta. Si uno de estos tiene sentido para usted, siéntase libre de ignorar el otro. Tu dices eso$x$y$y$ podrían ser números complejos, da la casualidad de que ambos son reales en este punto. Si integramos sobre$x$y$y$, decimos que elegimos un contorno que se encuentra a lo largo de los ejes reales, pero podríamos haber elegido un contorno en cualquier parte de los planos complejos. Esto significa que$\bar{z} = \frac{x - i y}{\sqrt{2}}$no es necesariamente el complejo conjugado de$z$, tan variable$z$mientras lo esté agarrando$\bar{z}$constante es un concepto legítimo.

En ese caso, te preocuparías por las ecuaciones de Cauchy-Riemann con respecto a los componentes reales e imaginarios de$x$, y con respecto a los componentes reales e imaginarios de$y$, no$z$. Pero si define la función lejos del eje real por continuación analítica, esto sería automático. Traduciendo de nuevo al lenguaje funcional, te imaginas$\varphi$y$\chi$ser complejo, etc.