Definición del lagrangiano en la teoría de campos (clásica)

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Definición del lagrangiano en la teoría de campos (clásica)

Física
definición
teoría de campo
formalismo lagrangiano
cálculo variacional
derivados funcionales

maximo

Actualmente estoy leyendo Lectures on Quantum Mechanics de Weinberg . El capítulo 11 trata de la teoría de campos:

En consecuencia, el Lagrangiano $L(t)$ es un funcional de $\psi_n(\vec{x}, t)$ y $\dot{\psi}_n(\vec{x}, t)$ , dependiendo de la forma de todas las funciones $\psi_n(x, t)$ y $\dot{\psi}_n(x, t)$ para todos $\vec{x}$ , pero en un tiempo fijo $t$ .

Entiendo la afirmación anterior de la siguiente manera: el Lagrangiano, como funcional, toma los campos $\psi_n$ y $\dot{\psi}_n$ y un valor específico de $t$ como entrada y produce alguna salida que no depende de $\vec{x}$ .

¿Es esta "interpretación" correcta y, si no, qué más significa? Al menos tendría sentido para mí, especialmente cuando el Lagrangiano se define como

$L(t) = \int \, d^3x \cal{L}\big(\psi(\vec{x},t), \vec{\nabla}\psi(\vec{x},t),\dot{\psi}(\vec{x},t)\big)$ .

prahar

Eso es correcto. Toma las funciones

ψ_{n} (\vec{x})

$\psi_n(\vec{x})$ y

{\dot{ψ}}_{n} (\vec{x})

${\dot \psi}_n(\vec{x})$ cuales son los valores de

ψ_{n}

$\psi_n$ y

{\dot{ψ}}_{n}

${\dot \psi}_n$ a un valor particular de

t

$t$ como entradas. La salida es un número independiente de

\vec{x}

$\vec{x}$ .

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Definición del lagrangiano en la teoría de campos (clásica)

Eso es correcto. Toma las funciones $\psi_n(\vec{x})$ y ${\dot \psi}_n(\vec{x})$ cuales son los valores de $\psi_n$ y ${\dot \psi}_n$ a un valor particular de $t$ como entradas. La salida es un número independiente de $\vec{x}$ .

qmecanico · Answer 1

Quizás sería más pedagógico usar la notación $q$ y $v$ como la notación para los campos $\psi$ y $\dot{\psi}$ , respectivamente, porque son campos independientes : $\mathbb{R}^{n+1}\to\mathbb{R}$ en el funcional lagrangiano $L[q(\cdot,t),v(\cdot,t);t]$ .

Por otra parte, en la acción $S[q]$ los 2 campos son realmente dependientes. Para la explicación en la situación más simple de la mecánica de puntos, vea, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.
La interpretación OP es correcta. El Lagrangiano es un mapa
$F (R^{norte}, R) \times F (R^{norte}, R) \times R \overset{L}{⟶} R,$ $F(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}) \times F(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}) \times \mathbb{R}~~\stackrel{L}{\longrightarrow}~~\mathbb{R},$ dónde $F(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ denota una clase apropiada de funciones: $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ . En particular, derivadas espaciales $\vec{\nabla}\psi(\vec{x},t)$ también están permitidos en una densidad lagrangiana de primer orden ${\cal L}$ .
Para una densidad lagrangiana de orden superior ${\cal L}$ , consulte, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE relacionada aquí .

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maximo

prahar

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qmecanico

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