Variar la acción de Einstein-Hilbert sin referencia a un gráfico

En primer lugar, no está claro qué es lo que quieres exactamente. Como en:

• ¿Desea un enfoque que no use coordenadas en absoluto, pero que pueda, por ejemplo, usar marcos?

• ¿Desea un enfoque completamente "invariable" que no utilice absolutamente ninguna trivialización local de ningún paquete de fibra? Si es así, ¿está dispuesto a trabajar en los espacios totales de dichos paquetes?

• ¿Quiere un enfoque que sea global , independientemente de cualquier otra consideración?

• ¿Quieres un enfoque que no use índices , pero todo lo demás es un juego?

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Esto no me queda claro. Especialmente, que a pesar del hecho de que su problema con la respuesta de Arnold Neumaier fue que usa marcos, pero el ejemplo de electrodinámica que ha dado esencialmente también usa marcos .

¿Por qué? Porque si$P\rightarrow M$es un director$\text{U}(1)$haz con conexión principal Ehresmann$\omega$, entonces lo que llamas$A$se define esencialmente como sigue. Si$(U,\varphi)$es una sección local de$P$($U\subseteq M$es el dominio y$\varphi:U\rightarrow P$es el mapa), entonces definimos$A^{(U)}=-i\varphi^\ast\omega$, válido en$U$. Desde$\omega$es un pseudotensor$1$-forma de tipo$\text{Ad}$en$P$, estos retrocesos en vecindarios superpuestos no encajarán en un objeto global bien definido en$M$. Esencialmente, usando$A$es lo mismo que usar$\omega^a_{\ b}$(las formas de conexión) en GR. También tenga en cuenta que así$A$está bien definida globalmente si y sólo si$P$admite secciones globales.

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Dicho esto, hay varios enfoques que uno puede tomar para variar la acción de Einstein-Hilbert de una manera "invariante".

El enfoque geométrico global:

La mayor dificultad es derivar la variación del elemento de volumen.$đ\mu=\sqrt{-g}d^4x$. Por supuesto, lo más fácil es expandirse en coordenadas locales, pero queremos evitar eso por ahora. Aparte de trabajar directamente en algún paquete de fibra, creo que uno necesita usar al menos marcos aquí.

Una razón por la que necesita usar marcos aquí es que una forma diferencial se desvanece cuando alimenta vectores linealmente dependientes en ella. Así que si$đ\mu$es una forma de volumen, y$X_1,...,X_n$son campos vectoriales, entonces

$$đ\mu(X_1,...,X_n)\neq 0\Leftrightarrow X_1,...,X_n\ \text{is a linearly independent set.}$$ Pero si estos$n$los campos vectoriales son linealmente independientes, entonces forman un marco, esencialmente.

Lo mejor que podemos hacer es usar marcos, pero solo usarlos "pasivamente". P.ej. la forma del volumen no se define en términos del marco, pero el marco se usa para derivar relaciones.

Sabemos que si$\Omega$es cualquier$n$-forma y$đ\mu$es una forma de volumen, entonces hay una función$\alpha$tal que

$$\Omega=\alpha\ đ\mu,$$ en particular, dado que la variación de$đ\mu$es un$n$-forma, hay un$\alpha$tal que $$\delta đ\mu=\alpha đ\mu.$$

Si$(e_1,...,e_n)$es un marco ortonormal orientado positivamente, entonces tenemos$đ\mu(e_1,...,e_n)=1$, entonces tenemos

$$\alpha=(\delta đ\mu)(e_1,...,e_n).$$

Aunque no es el más riguroso de los enfoques, no es inmoral ni incorrecto obtener esto considerando una expansión de Taylor de primer orden. Dejar$g_\epsilon$ser una familia de métricas de un solo parámetro,$đ\mu_\epsilon$la correspondiente familia de formas de volumen de 1 parámetro, y$e_a^\epsilon$la correspondiente familia de marcos ortonormales de 1 parámetro.

Tenemos$g_\epsilon(e^\epsilon_a,e^\epsilon_b)=\eta_{ab}$para todos$\epsilon$, entonces el$\epsilon$-derivada en$0$es

$$0= \delta g(e_a,e_b)+2g(\delta e_a,e_b).$$ Desde el$e_b$son vectores base, tenemos $$g(\delta e_a,\bullet)=-\frac{1}{2}\delta g(e_a,\bullet),$$ entonces $$\delta e_a=-\frac{1}{2}\delta g(e_a,\bullet)^\sharp,$$ dónde$\sharp$es "elevar un índice". En notación de índice este resultado es$\delta e^\mu_a=\delta g_{\nu}^{\ \mu}e^\nu_a$. Claramente esta expresión es lineal en$e_a$, así que definamos$A(e_a)=\delta g(e_a,\bullet)^\sharp$ser este mapa lineal.

Ahora, sabemos que

$$1=đ\mu_\epsilon(e_1^\epsilon,...,e^\epsilon_n)$$ para todos $\epsilon$s. Si diferenciamos en$\epsilon=0$, obtenemos $$0=(\deltađ\mu)(e_1...e_n)+đ\mu(\delta e_1,...,e_n)+...+đ\mu(e_1,...,\delta e_n).$$ Personalmente, encuentro difícil la evaluación de los términos distintos al primero (que queremos expresar), por lo que en lugar de diferenciar directamente en$\epsilon=0$, desarrollamos en una serie de Taylor truncada. A primer orden en$\epsilon$, tenemos $$e_a^\epsilon=e_a+\epsilon A(e_a)=(1+\epsilon A)e_a,$$ así que a primer orden en$\epsilon$también tenemos $$1=đ\mu_\epsilon(e^\epsilon_1,...,e^\epsilon_n)=đ\mu_\epsilon(e_1,...,e_n)\det(1+\epsilon A)=đ\mu_\epsilon(e_1...e_n)(1+\epsilon\text{Tr}A)\\ =(1+\epsilon\alpha)đ\mu(e_1...e_n)(1+\epsilon\text{Tr}A)=(1+\epsilon \alpha)(1+\epsilon\text{Tr}A)=1+\epsilon(\alpha+\text{Tr}A)+O(\epsilon^2),$$ por lo que obtenemos $$\alpha=-\text{Tr}A=\frac{1}{2}\text{Tr}_g\delta g=-\frac{1}{2}\text{Tr}_g\delta g^\ast,$$ dónde$\text{Tr}_g$es la traza métrica (ej.$h_{\mu\nu}\mapsto h_{\mu\nu}g^{\mu\nu}$), y$g^\ast$es la métrica inversa/dual. Hemos utilizado la conocida relación de que las variaciones de las métricas directa e inversa son negativas entre sí.

Por lo tanto, hemos obtenido de una manera razonablemente invariable que

$$\delta đ\mu=-\frac{1}{2}\text{Tr}_g\delta g^\ast đ\mu=-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}_\ast đ\mu.$$

Para el resto de la derivación, usaré la notación de índice abstracto , que es global y libre de coordenadas.

Sabemos que (ver Wald - Relatividad General para una derivación) si$\nabla^\prime$y$\nabla$son dos conexiones lineales, con tensor de diferencia$C:\ \nabla^\prime=\nabla+C$, entonces los tensores de curvatura correspondientes se relacionan como

$$R^{\prime\rho}_{\ \sigma\mu\nu}=R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}+2\nabla_{[\mu} C^\rho_{\nu]\sigma}+2C_{[\mu|\lambda|}^{\rho}C^\lambda_{\nu]\sigma}.$$

En particular, deja$\nabla^\epsilon$ser la familia de 1 parámetro de conexiones Levi-Civita inducida por la familia de métricas de 1 parámetro, y$C^\epsilon$sea ​​la familia de 1 parámetro de tensores en diferencia entre$\nabla^\epsilon$y la conexión LC imperturbable. Entonces

$$\delta\nabla=\frac{d}{d\epsilon}\nabla^\epsilon\ |_{\epsilon=0}=\frac{d}{d\epsilon}\left(\nabla+C^\epsilon\right)_{\epsilon=0}=\frac{d}{d\epsilon}C^\epsilon |_{\epsilon=0}\equiv\delta\Gamma,$$ y el$\epsilon$-familia de tensores de curvatura es $$(R^{\epsilon}){}^\rho_{\ \sigma\mu\nu}=R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}+2\nabla_{[\mu}(C^\epsilon)^\rho_{\nu]\sigma}+2(C^\epsilon)^\rho_{[\mu|\lambda|}(C^\epsilon)^\lambda_{\nu]\sigma},$$ entonces $$\delta R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}=\nabla_\mu\delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma}-\nabla_\nu\delta\Gamma^\rho_{\mu\sigma}.$$

Hemos resuelto así el cálculo de las variaciones de la conexión, el tensor de curvatura y la forma del volumen sin utilizar coordenadas locales o expansiones de marco. Puede completar el resto de los detalles usted mismo.

Otras lecturas:

"Besse: variedades de Einstein".

Esto es especialmente recomendable si realmente odias los índices, ya que Besse no usa la notación de índice abstracto, usa la notación matemática estándar. Sin embargo, no deriva la variación de la forma del volumen, simplemente se la deja al lector como ejercicio. Las secciones relevantes son el Capítulo 1 - K: Primeras variaciones de los campos tensoriales de curvatura y el Capítulo 4 - C: Curvatura escalar total: propiedades de primer orden .

Enfoque de marco ortonormal:

Esto ha sido cubierto por la respuesta de Arnold Neumaier, y este es el enfoque que más se acerca a su ejemplo de electrodinámica en espíritu. Solo señalaré una cosa, que si queremos que el problema de valor inicial en GR esté bien definido, queremos que el espacio-tiempo sea globalmente hiperbólico, lo que implica que topológicamente$M=\mathbb R\times\Sigma$. Desde$\mathbb R$es paralelizable, la paralelización de$M$depende de si la variedad de 3$\Sigma$es paralelizable o no.

En términos físicos, deseamos que el espacio sea orientable, por lo que$\Sigma$debe ser orientable. Sin embargo, se sabe que cada variedad tridimensional orientable es paralelizable , por lo que si se cumplen estos requisitos físicamente razonables, entonces los espacio-tiempos de 4 dimensiones son paralelizables.

Por lo tanto, estos enfoques de GR basados ​​en marcos ortonormales son en realidad globales.

Otras lecturas:

"Thirring: Curso de Física Matemática Vol 2"

"Straumann: Relatividad General"

Los libros del grupo Loop Quantum Gravity, como Thiemann, Rovelli, Gambini, etc. también tienden a tratar el principio de acción de GR a través de marcos ortonormales.

Enfoque de paquete principal:

Puede considerar cada campo tensorial (en$M$) como una cierta matriz de funciones en el conjunto de marcos de$M$que satisfacen ciertas propiedades de equivalencia.

Por ejemplo, en los enfoques habituales basados ​​en cuadros, un campo vectorial es algo así como$V^a(x)$. Pero estos componentes no sólo dependen del punto múltiple$x$sino también en un marco elegido en$x$. Así que estos$V^a$son en realidad funciones en el paquete de cuadros:

$$V^a(x,e),$$ donde los puntos del paquete del marco$F(M)\rightarrow M$se denotan como pares$(x,e)$, dónde$e$es un marco en$x$.

Estas funciones definen un campo vectorial si y solo si para cualquier$\Lambda\in\text{GL}(n,\mathbb R)$, tenemos la

$$V^a(x,e\Lambda)=(\Lambda^{-1})^a_{\ b}V^b(x,e)$$ propiedad de la equivalencia. De manera similar para otros campos tensoriales.

Es importante notar que a pesar de los índices y componentes, estas funciones son globales y completamente invariantes .

Se puede desarrollar un cálculo tensorial en el paquete de marcos que refleje esencialmente el cálculo tensorial local basado en índices habitual en la variedad base, pero que sea global y totalmente independiente del marco y las coordenadas.

Otras lecturas:

"David Bleecker: teoría de calibre y principios de variación"

Este libro trata las teorías de calibre, la gravedad y las teorías de calibre + gravedad de una manera completamente invariable y matemáticamente precisa utilizando haces de fibras principales, incluidos los principios de acción.

¿Existe una derivación similar completamente covariante e independiente de las coordenadas de las ecuaciones de campo de Einstein a partir de la acción de Einstein-Hilbert?

Sí. En el Capítulo 4.2 del libro de texto se proporciona, por ejemplo, una derivación basada en acciones covariantes y sin coordenadas.

W. Thirring, Curso de Física Matemática, Vol.2 , Teoría Clásica de Campos, Springer, Nueva York 1978.

La derivación es elemental: simplemente reemplace cada campo por campo + variación, calcule los términos de primer orden en la variación, use la integración por partes y lea las ecuaciones de movimiento. Cada paso es elemental, covariante y libre de coordenadas, por lo que toda la derivación lo es.