Diferentes definiciones de Derivado Funcional

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Diferentes definiciones de Derivado Funcional

Física
teoría de campo
formalismo lagrangiano
cálculo variacional
derivados funcionales
distribuciones-dirac-delta

Joao Pedro Gomide

Al estudiar QFT y Relatividad General, encontré dos definiciones diferentes de Derivada Funcional y me gustaría saber si son equivalentes.

En primer lugar, en el libro de Wald General Relativity , así como en otras referencias de GR (Baez), la variación de la acción se da en términos de una "familia de configuraciones de campo de un parámetro $\psi_\epsilon$ y esta familia se puede definir como $\psi_\epsilon = \psi_0+\epsilon\phi$ , dónde $\phi$ es un campo arbitrario. Luego, se hacen las siguientes definiciones: $d ψ_{ϵ} / d ϵ |_{ϵ = 0} := d ψ d S := \frac{d}{d ϵ} S [ψ + ϵ ϕ] |_{ϵ = 0}$ $d\psi_\epsilon/d\epsilon|_{\epsilon=0}:=\delta\psi \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \delta S:=\frac{d}{d\epsilon}S[\psi+\epsilon\phi]\Big|_{\epsilon=0}$ dónde $S[\psi]$ es el funcional de interés. Finalmente, la derivada funcional $\delta S/\delta\psi(x)$ se define de la siguiente manera:

d S = \int d^{4} X \frac{d S}{d ψ (X)} ϕ (X) = \frac{d}{d ϵ} S [ψ + ϵ ϕ] |_{ϵ = 0}

$\delta S= \int \mathrm{d}^4x\frac{\delta S}{\delta\psi(x)}\phi(x) = \frac{d}{d\epsilon}S[\psi+\epsilon\phi]\Big|_{\epsilon=0}$

Cuando recurro a una referencia QFT, como la Cuantización de campo de Greiner , la definición es prácticamente la misma, pero el campo arbitrario $\phi$ ahora se especifica como $\delta^4(x-x')$ . Entiendo que esta especificación puede interpretarse como una variación en la posición $x'$ solo, de modo que la integral puede verse como un análogo de $dS = \sum \frac{\partial S}{\partial x_i}dx_i$ . También parece importante cuando se trata de generar funcionales, pero aún no los he estudiado, por lo que podría estar equivocado.

Me gustaría saber por qué esta especificación ( $\phi=\delta^4(x-x')$ ) realizado y si ambas definiciones son equivalentes.

Respuestas (2)

Diferentes definiciones de Derivado Funcional

Bence Racskó · Answer 1

Aparte de que la última definición no es "matemáticamente sana" como señaló md2perpe, la equivalencia se puede establecer fácilmente de la siguiente manera:

Dejar $\delta_{x_0}$ denotemos la distribución delta de Dirac centrada en $x_0$ , p.ej. $\delta_{x_0}(x)=\delta(x-x_0)$ .

Asumir que $S$ es funcionalmente diferenciable en $\psi$ . entonces para cualquier variación $\phi$ tenemos

d S [ψ] = \int d^{4} X \frac{d S [ψ]}{d ψ (X)} ϕ (X) .

$\delta S[\psi]=\int d^4x \frac{\delta S[\psi]}{\delta\psi(x)}\phi(x).$ Dado que esto es cierto para cualquier variación (o al menos para aquellas que desaparecen en el límite), podemos reemplazar

ϕ

$\phi$ con

δ_{x_{0}}

$\delta_{x_0}$ . Entonces obtenemos

d S [ψ]_{específico} = \int d^{4} X \frac{d S [ψ]}{d ψ (X)} d_{X_{0}} (X) = \frac{d S [ψ]}{d ψ (X_{0})},

$\delta S[\psi]_{\text{specific}}=\int d^4x\frac{\delta S[\psi]}{\delta\psi(x)}\delta_{x_0}(x)=\frac{\delta S[\psi]}{\delta\psi(x_0)},$ por lo tanto, usar la distribución delta de Dirac como una "función de prueba" le dará la derivada funcional directamente, en lugar de indirectamente.

Pero, por supuesto, como se ha señalado, esta es una manipulación formal y no es matemáticamente sensata.

md2perpe · Answer 2

En la mayoría de los casos prácticos, las dos definiciones son equivalentes, pero la última definición no es matemáticamente correcta. el funcional $S$ se define para funciones suaves, y $\delta^4$ ni siquiera es una función.

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Joao Pedro Gomide

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