Derivadas de orden superior a las ecuaciones diferenciales de segundo orden

De https://doi.org/10.1063/1.2155755

se limitó a las ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Nuestra experiencia en física de partículas elementales nos ha enseñado que cualquier término en las ecuaciones de campo de la física que sea permitido por los principios fundamentales es probable que esté presente en las ecuaciones.

Supongo que el autor quiere decir desde el punto de vista de la teoría del campo efectivo. Es decir, las acciones efectivas incluyen términos no renormalizables, lo que puede conducir a derivados más altos. Intento ver un ejemplo más allá de las ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Déjame empezar desde$\phi^4$. El Lagrangiano efectivo es, por ejemplo, Peskin & Schroeder eq. (12.23)

$$\int d^d x \mathcal{L}_{\mathrm{eff}} = \int d^d x' \left[ \frac{1}{2} \left( \partial'_{\mu} \phi' \right)^2 + \frac{1}{2} m'^2 \phi'^2 + \frac{1}{4} \left( \lambda' \phi'^4 + C \left( \partial'_{\mu} \phi' \right)^4 + D' \phi'^6 +\cdots \right) \right] \tag{1}$$

Supongo

$$\mathcal{L}_{\mathrm{eff}} = \frac{1}{2} \left( \partial'_{\mu} \phi' \right)^2 + \frac{1}{2} m'^2 \phi'^2 + \frac{1}{4} \left( \lambda' \phi'^4 + C \left( \partial'_{\mu} \phi' \right)^4 + D' \phi'^6 +\cdots \right) \tag{2}$$

Intenta cocinar una ecuación clásica de movimiento. De la ecuación de Euler-Lagrangiana,

$$\frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial \phi} - \partial_{\mu} \frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial \left( \partial_{\mu} \phi \right) } = 0\tag{3}$$ inserte el lagrangiano efectivo, deberíamos obtener algunos términos adicionales a la ecuación de Klein-Gordon $$\square \phi' - m^2 \phi' + C \partial'_{\mu} \left[ \left( \partial'^{\mu} \phi' \right) \left( \partial'_{\mu} \phi' \right)^2 \right] +\cdots = 0.\tag{4}$$

Hasta aquí el término extra con prefactor$C$todavía parece una ecuación diferencial de segundo orden, como una derivada de primer orden fuera del corchete,$\partial'_{\mu}$, actuando sobre un término derivado de primer orden$\left( \partial'^{\mu} \phi' \right)$multiplicado por el otro término derivado de primer orden (un derivado de primer orden multiplicado por sí mismo)$\left( \partial'_{\mu} \phi' \right)^2$, es decir,$(fg)' = f'g + fg'$. Si además organizo la parte interior del corchete del término extra por$f' g = （fg)' - f g'$,

$$C \partial'_{\mu} \left[ \left( \partial'^{\mu} \phi' \right) \left( \partial'_{\mu} \phi' \right)^2 \right] \\ \equiv C \partial'_{\mu} \left\{ \left( \partial'^{\mu} \phi' \right) \left( \partial'_{\mu} \phi' \right)^2 \right\} \\ = C \partial'_{\mu} \left\{ \partial'^{\mu} \left[ \phi' \left( \partial'_{\mu} \phi' \right)^2 \right] - \phi' \partial'^{\mu}\left[ \left( \partial'_{\mu} \phi' \right)^2 \right] \right\} \\ = C \underline{\partial'_{\mu}} \left\{ \partial'^{\mu} \left[ \phi' \left( \partial'_{\mu} \phi' \right)^2 \right] - 2 \phi' \left[ \left( \partial'^{\mu} \phi' \right) \left( \underline{ \partial'^{\mu} \partial'_{\mu}} \phi' \right) \right] \right\}.\tag{5}$$

Parece que obtengo una ecuación diferencial de tercer orden de la parte subrayada de la ecuación anterior. ¿Es correcto mi razonamiento?

Creo que no impuse ninguna cuantización para obtener la ecuación de movimiento (excepto la acción efectiva de las integrales de trayectoria), ya que creo que la vista en el ensayo de física de hoy no trata mucho sobre la cuantización. ¿O ni siquiera me equivoco?

¿O una ecuación diferencial de segundo orden debe contarse como el número total de términos derivados que tomar una diferenciación de segundo orden en un solo término?