La ecuación de Euler-Lagrange para partículas viene dada por
y para campos es
Comparando las dos ecuaciones, la primera tiene una derivada temporal total pero el otro parece tener derivadas parciales . Estas derivadas provienen de la integración por partes en la derivación de la ecuación EL. Me preguntaba por qué la versión de campo tiene derivadas parciales y la versión de partículas tiene derivadas totales.
También he visto para el ejemplo específico (en Teoría cuántica de campos para aficionados talentosos ) de ondas unidimensionales en una cuerda, la ecuación de Euler-Lagrange correspondiente es
que usa derivadas totales, así que estoy un poco confundido.
No, uno de los símbolos de derivadas parciales en la ecuación de OP (2) no es correcta si se supone que significa derivadas parciales. Las ecuaciones correctas de Euler-Lagrange (EL) dicen
Mencionemos para completar que la otra aparición del símbolo de derivada parcial en la ecuación de OP (2) es correcta. Puede ser reemplazado por una derivada del espacio-tiempo total. , desde por definición, cf. ecuación de OP (3).
Primero, asegurémonos de que entendemos la noción de la derivada total en el caso de las partículas: el Lagrangiano en sí mismo es una función de valor real , dónde y se tratan como variables independientes , cf. esta pregunta o esta respuesta mía . Cuando hablamos de una derivada "total" en el contexto de las ecuaciones de Euler-Lagrangian, en realidad queremos decir que tomamos un camino , calcule su derivada en el tiempo , entonces considere la función , cuyo único argumento libre es ahora , y luego tome la derivada wrt . Hablar de derivada "total" o "parcial" es una forma manual de distinguir entre el Lagrangiano como una función de variables independientes (este es un caso parcial) y el Lagrangiano en función del tiempo después de que se haya conectado una ruta dependiente del tiempo (este es el caso "total"). Entonces, la expresión significa: Tomar el Lagrangiano como una función de , diferenciar con respecto a , luego conecta una ruta en la función resultante, luego diferencie con respecto a .
Entonces, en el caso de campo, tenemos una función que solo trata y como números reales, y de los cuales tomamos las derivadas "parciales" . Esta es solo la derivada de esta función con respecto a su segundo argumento, nada especial, como en el caso de las partículas. Ahora, una vez más, puede conectar un campo en esta función, y obtienes una función eso ahora es sólo una función de , y puede diferenciar este objeto. Como el en el caso de las partículas, la en la versión de campo de la ecuación de Euler-Lagrange se supone que actúa de esta manera: Deriva la función con respecto a su segundo argumento, luego inserte un campo , luego diferencie la función resultante wrt - por lo que la derivada es de hecho una "total".
Para funciones de 1 parámetro: , p.ej . Sin embargo, no debe interpretar como derivada parcial ordinaria. La ecuación de Euler-Lagrange (ELE) surge de un principio variacional y por lo tanto se deriva con derivados funcionales.
Obtenemos la regla de que se puede formar una ecuación diferencial parcial a partir de al tratar en función de las variables independientes y luego aplicando el ELE. Esto no te permite interpretar como una función de solo, o de lo contrario la derivación ELE habría fallado en primer lugar. El hecho de que para funciones de 1 parámetro obtenga una ecuación diferencial ordinaria es solo una coincidencia porque las ecuaciones diferenciales parciales de 1 parámetro son ecuaciones diferenciales ordinarias.
Entonces, de hecho, los ELE son ecuaciones diferenciales parciales para campos y trayectorias de partículas . Sin embargo, en la búsqueda posterior, también se trata de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Matt0410
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