¿Es el Lagrangiano de un campo cuántico realmente un 'funcional'?

Un "funcional" también puede ser un mapa de una función a otra función. De ahí que en este caso,$L:\mathcal{F}\times\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{F};(\Psi(t),\dot\Psi(t))\mapsto L[\Psi(t),\dot\Psi(t)]$,$L$mapea funciones en un espacio funcional$\mathcal{F}$dentro$\mathcal{F}$(esto supone que$\Psi(t)$está bastante bien controlado, y eso$L$no es demasiado exótico, que el mapa esté en el mismo espacio funcional).

Weinberg trabaja con el formalismo de la integral de la ruta, en el que la ordenación temporal se usa liberalmente. Cuando se usa la ordenación temporal, los productos de los operadores bajo la ordenación temporal se desplazan, de modo que podemos trabajar con los operadores bajo el símbolo de ordenación temporal como si fueran funciones. En mi opinión, Weinberg está lo suficientemente inmerso en esta forma de pensar que no mantiene la distinción entre espacios de función y espacios de operadores (no conmutativos) tan clara como podría. Estrictamente hablando, la introducción de la ordenación del tiempo nos saca del contexto matemático de$C^\star$-álgebras y espacios de Hilbert en el contexto de$C^\star$-álgebras, espacios de Hilbert y ordenamiento del tiempo (y, quizás, también anti-ordenamiento del tiempo). Los algebristas han luchado hasta cierto punto para incluir la ordenación del tiempo en un sistema matemático atractivo.

El término funcional se usa en al menos dos significados diferentes.

1. Un significado está en el tema matemático del análisis funcional , donde se estudian en particular los funcionales lineales . Este significado no es relevante para la discusión en la página 299 en Ref. 1.

2. Otro significado está en los temas de cálculo de variaciones y teoría de campos (clásica) . Este es el sentido que es relevante aquí.

Ya que solo estamos discutiendo la acción clásica$S$y no la integral de trayectoria completa, por simplicidad olvidémonos de los aspectos cuánticos, como, por ejemplo,$\hbar$, espacios de Hilbert, valores esperados, etc.

Supongamos por simplicidad que solo hay un campo$q$(que por razones semánticas llamaremos campo de posición), y que vive en$n$dimensiones espaciales y una dimensión temporal. El campo$q$es entonces una función$q:\mathbb{R}^{n+1}\to \mathbb{R}$. También hay un campo de velocidad.$v:\mathbb{R}^{n+1}\to \mathbb{R}$. El lagrangiano es un funcional local.

$$L[q(\cdot,t),v(\cdot,t);t]~=~\int d^nx~{\cal L}\left(q(x,t),\partial q(x,t),\partial^2q(x,t), \ldots,\partial^Nq(x,t);\right.$$ $$\left. v(x,t),\partial v(x,t),\partial^2 v(x,t), \ldots,\partial^{N-1} v(x,t);x,t\right).$$

La densidad lagrangiana${\cal L}$es una función de estas variables. Aquí$N\in\mathbb{N}$es un orden finito. Es más,$\partial$denota una derivada parcial wrt. variables espaciales$x$(pero no con la variable temporal$t$).

Tiempo$t$juega el papel de un parámetro de espectador pasivo, es decir, podemos considerar una superficie de Cauchy específica , donde el tiempo$t$tiene algún valor fijo, y donde tiene sentido especificar$q(\cdot,t)$y$v(\cdot,t)$independientemente. (Si consideramos más de un instante de tiempo, entonces el$q$y$v$Los perfiles no son independientes. Ver también, por ejemplo, esto y esto Publicaciones de Physics.SE).

Weinberg está usando la palabra funcional debido a las dimensiones espaciales. [En particular, si Weinberg hubiera considerado sólo la mecánica puntual (correspondiente a$n=0$sin dimensiones espaciales), entonces habría llamado al Lagrangiano$L(q(t),v(t);t)$una función de la posición instantánea$q(t)$y la velocidad instantanea$v(t)$.]

Es importante tratar$q(\cdot,t)$(que Weinberg llama$\Psi(\cdot,t)$) y$v(\cdot,t)$(que Weinberg llama$\dot{\Psi}(\cdot,t)$) por tiempo fijo$t$como dos funciones independientes para dar sentido a la definición del momento conjugado/canónico$p(\cdot,t)$(que Weinberg llama$\Pi(\cdot,t)$). La definición involucra una derivada funcional/variacional wrt. al campo de velocidad, cf. ec. (7.2.1) en la Ref. 1,

$$\tag{7.2.1} p(x,t)~:=~\frac{\delta L[q(\cdot,t),v(\cdot,t);t]}{\delta v(x,t)}.$$

Finalmente integremos con el tiempo$t$. La acción$S$(que Weinberg llama$I$) es

$$\tag{7.2.3} S[q]~:=~\int dt~ \left. L[q(\cdot,t),v(\cdot,t);t]\right|_{v=\dot{q}}$$

La correspondiente ecuación de Euler-Lagrange se convierte en

$$\tag{7.2.2} \left.\frac{d}{dt} \left(\frac{\delta L[q(\cdot,t),v(\cdot,t);t]}{\delta v(x,t)}\right|_{v=\dot{q}}\right)~=~\left. \frac{\delta L[q(\cdot,t),v(\cdot,t);t]}{\delta q(x,t)}\right|_{v=\dot{q}}$$

Referencias:

1. S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Vol 1, Sección 7.2, p.299.

En la teoría clásica de campos, los campos son simplemente secciones de algún haz de fibras.$E$durante un espacio-tiempo$M$. A cualquier paquete de este tipo, uno puede asociar paquetes de chorro$J^kE$, secciones de esos contienen derivados de los campos, forman un sistema inverso, por lo que puede definir un paquete$J^\infty E$. Una densidad de Lagrange es entonces simplemente un mapa

$$L \colon J^\infty(E) \to \Omega^n(M).$$

Dada una sección$\phi \colon M \to E$, puedes calcular la acción:

$$S[\phi] = \int_M L(j_\infty \phi),$$ dónde $j_\infty(\phi) = (\phi, \partial_i \phi, ...)$es la prolongación de $\phi$.

Por supuesto, hay otros puntos de vista, otro es que la densidad de Lagrange es un elemento en el bicomplejo variacional.

En lugar de llamar funcional a un lagrangiano, uno debería llamarlo operador.

Como el ejemplo en la pregunta, la literatura de física está llena de terminología imprecisa. Por lo general, por "funcional" se entiende un elemento de un espacio dual a algún espacio vectorial de dimensión infinita. O algún mapa$V \approx \Omega_1^{\alpha_1}(M) \times \cdots \times \Omega_n^{\alpha_n}(M) \longrightarrow F$dónde$\Omega_j^{\alpha_j}(M)$son algunas secciones de alguna variedad, y$F$es un campo